Primos gaussianos

Todo el mundo aprende en la escuela que un número natural mayor que uno es primo si tiene exactamente dos divisores: la unidad y él mismo. Bastante tiempo después, el profesor cuenta un día —aunque pocos escuchen— que las ecuaciones de segundo grado que parecía que no tenían solución (como \(x^2+1=0\)) sí que la tienen, pero no son reales sino complejas.

¿Entre los números complejos existen algunos que sean primos y otros que sean compuestos?

Enteros gaussianos

El conjunto de los números complejos \(\textbf{C}\) está formado por números de la forma \(a+bi\), donde \(a,b\in\textbf{R}\) e \(i=\sqrt{-1}\) es la unidad imaginaria.

Si nos limitamos al subconjunto de \(\textbf{C}\) cuyos elementos tienen \(a\) y \(b\) enteros (\(a,b\in\textbf{Z}\)), tenemos el conjunto de los enteros gaussianos (que se puede designar \(\textbf{Z}[i]\)).

Dado un entero gaussiano \(x\), decimos que \(-x\), \(ix\) y \(-ix\) son sus asociados. Es el equivalente al concepto de opuesto en los números reales (el \(3\) y el \(-3\), por ejemplo).

Primos gaussianos

Si un número natural puede factorizarse (sin contar con los divisores triviales) se dice que es compuesto; si no, decimos que es primo. Podemos definir los primos gaussianos de manera análoga: si un entero gaussiano no puede factorizarse (también sin contar con los asociados de la unidad: -1, 1, \(i\) y \(-i\)), es primo gaussiano.

Para obtener la factorización de los enteros gaussianos se puede consultar esta entrada del magnífico blog Guirnalda Matemática.

Por ejemplo, \(5-i\) es compuesto porque puede factorizarse $$5-i=(3+2i)(1-i)$$

En cambio, \(1+i\), \(3-2i\)... son primos gaussianos.

Primos que son primos gaussianos

Inmediatamente surge la pregunta: ¿los números primos son también primos gaussianos?

Algunos sí, como 3, 7, 11... Sin embargo, algunos números primos no son primos gaussianos; por ejemplo, 2 no lo es porque \(2=(1+i)(1-i)\), Tampoco 13 (\(13=-i(2+3i)(3+2i)\)), ni...

Los números primos son primos gaussianos solamente si son de la forma \(4n+3\). Podríamos decir que esos son los "superprimos", porque son primos en el conjunto de los enteros y en el conjunto de los enteros gaussianos.

Los primos gaussianos son:

• \(1+i\) y sus asociados
• los divisores \(a+bi\) y \(a-bi\) de los primos de \(\textbf{Z}\) de la forma \(4n+1\), y sus asociados
• los primos de \(\textbf{Z}\) de la forma \(4n+3\)

Representación gráfica de los primos gaussianos

Si representamos en el plano complejo los primos gaussianos obtenemos el siguiente patrón, que, por lo visto, se ha utilizado algunas veces como motivo decorativo. La simetría proviene del hecho de que si un entero gaussiano es primo, entonces sus asociados también lo son (es decir: \(3\), \(-3\), \(3i\) y \(-3i\))

(Clic para ampliar)

Este patrón no tiene nada que ver con la famosa espiral de Ulam ni con la espiral de Sacks, que son representaciones de los primos naturales no de los gaussianos.

Bibliografía

• David G. Wells. Prime numbers: the most mysterious figures in math. John Willey & Sons. Hoboken, New Jersey, 2005.
• A crash course in Gaussian primes
• Gaussian primes (MathWorld)
• Representación de los primos gaussianos a mano alzada