De gatos y modelos

Recientemente vi la publicación del compañero Carles Sadurní acerca de la velocidad que alcanzaría un gato al ser lanzado desde 8000 metros de altura (problemas más extraños me ha tocado resolver en multitud de exámenes, ojo), y me gustaría ampliar este problema con más datos y casuística.

Para empezar, nuestro compañero hizo todos los cálculos correctamente, pero obvió que la atmósfera poseía una densidad continua (1,29 kilogramos por metro cúbico, concretamente). A nivel superficial, la densidad es de 1,225 kilogramos por metro cúbico. La diferencia es pequeña pero, trabajando con números tan grandes puede dar ligeros errores. Igualmente este valor no lo voy a usar en todo el proceso. 

El problema llega cuando, haciendo estimaciones de la densidad del aire a una altura de 8000 metros, obtenemos una densidad aproximada de 0,525168 kilogramos por metro cúbico, un 40% del valor tomado inicialmente, por lo que el gato viajará a una velocidad bastante mayor (de esta no se libra, igualmente).

Si la atmósfera hubiese sido, no obstante, uniforme y la altura de cero metros, la velocidad máxima que podría haber alcanzado el gato (velocidad terminal, para ser más finos) hubiese correspondido a la raíz cuadrada del doble producto del peso del animal entre el producto de su coeficiente de arrastre (o rozamiento) por su área total por la densidad del aire. 

Continuando con el denominador, tocaría calcular el área proyectada del gato, que se corresponde con el área transversal. Para no meternos en camisa de once varas, simplificaremos y, suponiendo un gato cilíndrico cuyo diámetro es de 0.25 metros y su estatura 0.5 metros (la cola no cuenta porque su superficie y masa son despreciables), podemos calcularla de dos maneras. 

- Una es suponer un gato cilíndrico, en cuyo caso podemos realizar la fórmula del área de un rectángulo (base por altura), que arroja 0.125 metros cuadrados. Esta es la más rápida pero SIEMPRE suele incrementar (salvo el caso de un gato circular, que sería bastante estrambótico) el valor del área proyectada.

- Otra variante es suponer que el gato es un óvalo al realizar su sección, que -pese a no haber tenido el placer o no de observar a un gato caer a 8000 metros de altura, debe de ser la forma más parecida que adopta en su caída-. Su área será el radio mayor (0.25 metros, su estatura) por el radio menor (0.125 metros, su anchura) por el número pi, lo que arroja 0.0982 metros cuadrados (0.1 metros cuadrados). Yo he supuesto que el gato cae con una forma más ovalada, porque al suponerlo rectangular se crearían espacios inexistentes. Igualmente, el valor oscilaría entre 0.09 y 0.11 metros cuadrados. Estas medidas, claro está, dependen del gato, pero no he hilado tan fino. He cogido medidas aproximadas que para nada cambiarán sustancialmente el resultado final.

El siguiente apartado es el coeficiente de rozamiento. Contando que el gato es poco aerodinámico en su caída, rondará el de un cilindro (0.8), aunque cogeré un valor algo mayor (un humano puede caer en horizontal, pero la menor masa y superficie de los gatos, además de su grosor, los hace ser muy poco aerodinámicos), así que tomaré 0.9. En algunos lugares lo he encontrado como 1.1 argumentando que un gato cae a cuatro patas, pero en un régimen turbio y durante 8000 metros a más de 100 kilómetros por hora yo dudaría un poco de ello.

Si tomásemos el caso que Carles empleó (atmósfera uniforme, densidad iguala 1,225 kilogramos por metro cúbico), la resolución sería esta:

Asumiendo un peso de 4 kilogramos (promedio de un gato macho), la fórmula arrojaría como resultado: 26,680 m/s, lo que es igual a 96,049 kilómetros por hora (96 km/h). Si lo calculamos como un cuerpo cayendo en una posición perfecta, el resultado asciende a 28,299 m/s o 101,875 km/h (102 km/h). Si utilizamos la integral para obtener su velocidad cuando equis tiende a infinito, el resultado no supera los 108 kilómetros por hora, por lo que el resultado es totalmente acertado. Las ligeras variaciones dependerán del valor que cojamos para cada variable y, evidentemente, la densidad del aire, que no es uniforme durante toda la caída. 180 kilómetros por hora serían viables  para un gato de la friolera de 10 kilogramos (que los hay, ojo, el resultado no es falso).

Aquí habría un error centesimal y es que, para que un gato alcanzase su velocidad terminal ,debería caer desde 200 a 300 metros de altura. A esta distancia, la densidad del aire baja de 1,225 kilogramos por metro cúbico a 1,202. El error, no obstante, me reitero, es centesimal como comentaba (al gato no le afectará sustancialmente). Pero la suma de pequeños errores da como resultado uno bastante considerable.

¿Qué ocurre? Acabamos de calcular la velocidad terminal de un gato cuando cae a una altura corta (200-300 metros), donde la gravedad no varía y donde la densidad del aire varía insustancialmente. Pero... ¿Qué ocurre a 8000 metros? Que la cosa se complica. La densidad del aire desciende críticamente y la gravedad, al estar 8000 metros más lejos del centro de la Tierra, desciende. Y ya que vamos a hacer el problema como dios manda, toca reparar en todos estos pequeños detalles.

Hilemos todavía más fino: a 8000 metros de altura, la fuerza de la gravedad es menor. Calculando el producto de la constante gravitacional (6,67x10e-11) por la masa mayor –la terrestre- (59726000000000000000000000 kg) por la masa menor –la de un cuerpo de un kilogramo para calcular posteriormente la aceleración gravitatoria- (1 kilo) y dividiéndolo entre la distancia al cuadrado del punto de lanzamiento al centro terrestre en metros (6371000+8000 = 6379000 metros), nos arroja un valor exacto de 9.79 metros por segundo al cuadrado.

A 8000 metros, la densidad del aire según la Física y las fórmulas expresas de la NASA para su cálculo, es de 0,525168 kilogramos por metro cúbico. Si realizásemos los cálculos para la fórmula en la que contábamos a la atmósfera como uniforme, nos saldría una velocidad bastante mayor. Incluso si lo tirásemos desde la altura desde la que Baumgartner saltó en 2012, obtendríamos una velocidad superior al Mach 2 en altura, que para nada se daría. En el caso de usar las fórmulas que posteriormente citaré, saldría con una precisión de hasta el 98%, lo cual está bastante bien.

Bien, terminadas de calcular y citar todas las variables, vayamos a las fórmulas.

Es aquí donde entra el concepto de fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad (-kvv) donde K es igual al producto de la mitad de la densidad del aire por el área del gato y su fuerza de rozamiento, y  V hace referencia a la velocidad, que es elevada al cuadrado.

Suponiendo que en el primer instante cae con una aceleración igual a la gravitatoria, para t = 1 (en el primer segundo podemos considerar un rozamiento proporcional a la velocidad y, por tanto, práctiamente nulo), la constante K será igual a 0,02100672 unidades. Si multiplicamos esta constante por el cuadrado de la aceleración gravitatoria a 8000 metros, obtenemos que la Fricción es de -2,01337 N. Si partimos de la 2ª Ley de Newton (F = ma), la aceleración que produce el rozamiento es de -0.50334 metros por segundo al cuadrado, por lo que la aceleración en t = 1 será de 9.2866 m/s^2 y la velocidad al término de este período de tiempo será de 19,08 metros por segundo.

Como ‘p’ (la densidad del aire) ha variado muy poco o nada, la suma de ambas velocidades al cuadrado por la ‘K’ será igual al valor del rozamiento en el segundo 2. Este rozamiento es de -7,647N que, partidos entre la masa, arrojan un total de -1,912 m/s^2. Así, la aceleración que en ese momento lleva el gato es de 7,878 metros por segundo.

La ‘p’ todavía ha variado poco, por lo que podemos seguir usando K como valor constante hasta que el tiempo alcance los 10 segundos. Para t = 3, la aceleración será de 5,973 metros por segundo al cuadrado, para t = 4, de 4,095. Para t = 5 será de 2,589. Para t = 6, de 1,546. Para t = 7, de 0,89. Para t = 8 obtenemos exactamente 0,5. Para t = 9, 0,277. Para t = 10, 0,152. En t = 12 lo dejaremos porque la aceleración ya es casi insustancial, ya que en t = 11, se acelera a un ritmo de 0.08 metros por segundo al cuadrado y en t = 12 se acelerará a tan sólo 0,05. Entre t = 14 y t = 17 se habrá dejado de acelerar por completo (la fuerza de rozamiento será igual al peso).

No he tenido, por cierto, en cuenta otra cosa y es que en t = 7 segundos y en adelante la altura ha alcanzado los casi 7600 metros, por lo que la densidad del aire ha ascendido de 0,525 a 0,550 kilogramos por metro cúbico. La variable K en este caso sería igual a 0,022 y, por tanto, para t = 13 y cogiendo este valor, la aceleración sería negativa, lo que indicaría que la velocidad terminal para k = 0,022 se alcanza mucho antes y es algo menor (ya que es imposible que se decelere) por lo que, si tomamos en consideración este mínimo ascenso de la fuerza de rozamiento, toca dejar en t = 12 segundos  como el momento en el que se alcanza la velocidad terminal del gato. No he recalculado la K porque la variación es pequeña (décimas o centésimas de metro por segundo), pero sí que es cierto que, si la recalculásemos, la velocidad terminal, como me reitero, sería alcanzada instantes antes. Pero calcular un valor de 'K' por cada instante es un proceso tedioso para luego obtener un resultado prácticamente calcado.

Si sumamos todas las aceleraciones que hemos calculado en el problema previo, nos arrojará una velocidad de, aproximadamente, 43,2 metros por segundo. ¿Es este valor cierto? ¿Se ha cometido algún error? ¿Tanto cálculo? ¿No habrá otra forma más corta?

Pues sí, la Física tiene atajos para calcular todo el arsenal de datos que hemos manejado en la enorme cantidad de pasos que hemos tenido que realizar en una sola fórmula. Dos fórmulas, de hecho, por si queréis tener otra. Tomad nota:

Lo único que nos importa es cuál ha sido el resultado que, en este caso, ha sido de 43 metros por segundo aproximadamente, resultado de realizar esta fórmula: 

Raíz cuadrada de la división del peso (masa por gravedad) entre la variable K = velocidad.

El 4 sale de la masa (cifra por la cual dividíamos para hallar la aceleración producida por la fricción) y tanto 0,021 (K) y velocidad al cuadrado, salen de la ecuación. 9,79 es la aceleración gravitatoria que debe ser igual a la fuerza de rozamiento para considerarse como alcanzada la velocidad terminal. La raíz cuadrada sale de la velocidad al cuadrado que tenemos que despejar para obtener la velocidad y 0,021 es la K. El resultado son 43,183 metros por segundo, exactamente el mismo que arriba cogiendo como constante la densidad del aire (0,525 continuamente). Si la K la cogemos como 0,022, el resultado será de 42,190 metros por segundo, que es el valor más aproximado a la realidad de todo el problema.

La segunda fórmula consiste en:  

Raíz cuadrada del doble producto del peso (masa por gravedad) entre el producto del área proyectada por el coeficiente de rozamiento por la densidad del aire. Esta fórmula nos arroja un valor de 41,085 metros por segundo. La diferencia es prácticamente mínima entre las dos fórmulas (1 metro por segundo) y es explicable por el área que se ha cogido en cada una (0,98 ó 1 metros cuadrados) o las densidades del aire empleadas (0,525 ó 0,550 kilogramos por metro cúbico), y -más importante todavía- por el cálculo de la 'K', que también depende de las dos anteriores y el error acumulado será mayor.

Solución:

La velocidad máxima que alcanzaría el gato con los valores tomados sería de 155,459 kilómetros por hora. En el segundo caso (contando la variación de densidad del aire existente en la caída), de 151,884 kilómetros por hora. Y, en el tercer caso, teniendo en cuenta todas las variables calculadas y su variación a lo largo de la caída, de 147,906 kilómetros por hora. En resumen, un valor comprendido entre 148 y 155 kilómetros por hora en función de variables, con el 152 del segundo caso como valor más acertado en mi opinión. Está claro que, si tomamos un valor u otro, recalculamos la variable K, redondeamos, hilamos todavía más fino... El valor se acercará más a 148 o a 155, pero el abanico es muy reducido y el resultado muy preciso y, además, bastante lógico si pensamos que 108 es el valor en que la ‘x’ tendería a infinito y 180 es el valor que nuestro compañero (bastante acertado) calculó como máximo. El resultado para el gato, esperable, por supuesto.

Feliz año nuevo y muchas gracias a todos por la lectura.