Aproximaciones curiosas

¿Quién no conoce alguna aproximación racional de $\pi$? Por ejemplo $\frac{22}{7}$ (cota superior de la aproximación arquimediana) o $\frac{355}{113}$ (atribuida a Zu Chongzhi). También han sido muy importantes, hasta mitad del siglo XX, las aproximaciones racionales de los radicales.

No hace mucho, no recuerdo exactamente dónde —juraría que fue en Microsiervos, pero en Wired está y está muy bien explicado—, encontré una aproximación "diferente": $\pi^2\approx g$ (donde $g$ es el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre expresada en unidades del sistema internacional).

Parece ser que hay gente que se dedica a recopilar aproximaciones como esta —algunas tienen una justificación teórica y otras son simple coincidencia— y que el tema tiene cierta importancia porque ha aparecido en xkcd.

Aproximaciones "simpàticas"

Empecemos con una aproximación no muy buena, pero curiosa:  $$\pi^e\approx e^{\pi}$$

Aquí tenemos una mucho mejor con los mismos "implicados": $$\pi^4+\pi^5\approx e^6$$

Esta es  menos "simétrica" (pero lleva el número áureo): $$e\varphi\sqrt{5}\approx g$$

Otra con $\pi$: $$\sqrt{2}+\sqrt{3}\approx\pi$$

Y otra más: $$\dfrac{4}{\sqrt{\varphi}}\approx\pi$$

Y otra (un poco aberrante): $$\sqrt{\frac{2014\cdot7^2+10}{10000}}\approx\pi$$

Aproximaciones a un número entero

Algunas expresiones difieren muy poco de un número entero. Por ejemplo, $\pi^3$ es 31 con un error menor del $0{,}1\%$ $$\pi^3 \approx 31{,}00627668 \dots$$

Evidentemente cualquiera de las aproximaciones anteriores se podría escribir restando ambos miembros y podría verse como una aproximación a cero ($\pi^2-g\approx 0$). No nos referimos a estas, sino a las expresiones que se aproximan a otro número entero.

Combinando $\pi$ y $e$ tenemos unas cuantas:

$$\dfrac{\pi^9}{e^8}\approx 9{,}9998387$$

$$e^{\pi}-\pi\approx 19{,}999099979$$

(incluyendo la constante de Ramanujan)
$$e^{\pi\sqrt{163}}\approx 262537412640768743{,}99999999999925007$$

$e^{\pi}$ recibe el nombre de constante de Geldfont.

También las hay con el número áureo:

$$\varphi^{17}\approx3571{,}00028$$
$$\varphi^{18}\approx5777{,}999827$$
$$\varphi^{19}\approx9349{,}000107$$

no en vano, el número áureo es un número de Pisot. Incluso podríamos dar una respuesta aproximada al sentido de la vida, el universo y todo lo demás usando el número áureo:

$$\Big(\sqrt{\dfrac{2}{\varphi}}+1\Big)^5\approx42{,}00002$$

Herramientas

¿De dónde salen todas estas aproximaciones? Se pueden obtener con una calculadora por ensayo-error, claro está. De hecho, es una actividad perfecta para días de lluvia. Sin embargo, hay programas que, dado un número, devuelven expresiones que aproximadamente dan como resultado dicho número:

• RIES 
• ISC

Si encontráis alguna interesante podéis dejarla en los comentarios.

Referencias

1. Almost integer (Wired)
2. Almost integer (MathWorld)