Tanteo de soluciones irracionales de una ecuación de grado superior a dos

Si la división ya no es la operación más estimada por los estudiantes, no digo nada de la división de polinomios. Afortunadamente, para divisores del tipo \(x-a\) tenemos la regla de Ruffini. ¿Nunca os habéis preguntado si existía un método similar para divisores de grado superior a uno?

Algoritmo de Horner

El método o algoritmo de Horner permite realizar la división sintética con cualquier divisor (\(a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n\)); a diferencia de la regla de Ruffini que aprendimos en secundaria, que solamente se puede usar para divisores del tipo \(x\pm a\).

William George Horner fue un matemático británico nacido a finales del siglo XVIII a quien se atribuye la invención del zoótropo. También se le atribuye la autoría del algoritmo que hoy nos ocupa; pero, como dijo el gran Felix Klein, si un teorema lleva el nombre de un matemático, es seguro que suyo no es. De hecho, el algoritmo de Horner era conocido, dicen, por Isaac Newton 150 años antes y por Qin Jiushao 500 años antes.

La explicación completa se puede encontrar, por ejemplo, en el boletín del IES Matarranya de marzo de 2011. Nosotros nos limitaremos al caso de divisores cuadráticos.

Divisores cuadráticos

Supongamos que queremos calcular \(\frac{4x^5+14x^4-7x^3-6x^2+12x-9}{x^2+3x-2}\). Escribimos, en horizontal, en la parte superior, los coeficientes del dividendo en orden decreciente del grado del monomio correspondiente (igual que hacemos con la regla de Ruffini); a continuación, en la parte izquierda escribimos, en vertical, el opuesto del término independiente y, justo debajo, el opuesto del coeficiente del monomio de grado 1.

Entonces se opera con el número inferior como en el caso de Ruffini (excepto que hay que "parar" en el penúltimo coeficiente); con el superior, se opera igual, pero escribiendo el resultado de la multiplicación dos lugares más allá. En cada columna hay que sumar todos los números que haya. El resto viene dado por los últimos \(n\) coeficientes de la fila inferior, donde \(n\) es el grado del divisor.

.
Si el coeficiente del término de grado dos no es igual a la unidad, hay que dividir el resultado de la suma entre dicho coeficiente antes de escribirlo el la fila inferior (solamente para los términos del cociente, no los del resto). Por ejemplo, si quisiéramos dividir \(\frac{2x^4-x^3-6x^2+3x+9}{2x^2+x-3}\) haríamos

Soluciones irracionales

Puesto que uno de los usos principales de la regla de Ruffini es la resolución de ecuaciones de grado superior a dos factorizando el polinomio, el método de Horner nos abre la puerta a encontrar soluciones irracionales (raíces) de las ecuaciones de grado mayor que dos sin tener que recurrir a la "artillería pesada"

Veámoslo con un ejemplo. Supongamos que quisiéramos resolver la ecuación \(x^4+x^3-2x^2-3x-3=0\); puesto que no tiene soluciones enteras, mediante la regla ordinaria de Ruffini no conseguiríamos nada. Sin embargo, podemos usar el algoritmo de Horner y probar a dividir el polinomio entre \(x^2\pm3\) o entre \(x^2+1\); no es necesario probar \(x^2-1\) porque en tal caso \(x=1\) y \(x=-1\) serían soluciones de la ecuación y las hubiésemos hallado mediante la regla ordinaria de Ruffini.

Como se ve, el polinomio se puede factorizar de la forma siguiente: $$x^4+x^3-2x^2-3x-3=(x^2-3)(x^2+x+1)=0$$ de donde se obtiene que o bien $$x^2-3=0$$ o bien $$x^2+x+1=0$$

Es decir, que las soluciones son $$x=\pm\sqrt{3}$$ y $$x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\notin\textbf{R}$$

Fijándonos en la imagen anterior se ve que podemos  ahorrarnos la fila inferior: podríamos decir que la división entre \(x\pm a\) es igual que la regla de Ruffini pero escribiendo el resultado de cada multiplicación no en la columna siguiente sino dos más allá. Por ejemplo, si tuviésemos la ecuación $$6x^4-5x^3-17x^2+15x-3=0$$ podríamos hacer

 

La ecuación, factorizada, se puede escribir como $$(x^2-3)(6x^2-5x+1)=0$$

de donde $$x=\pm\sqrt{3}$$ y $$x=\frac{1}{2}$$ $$x=\frac{1}{3}$$

Incluso podemos probar facilmente con divisores del tipo \(ax^2\pm c, a\ne1\), donde \(a\) ha de ser divisor del coeficiente del monomio de mayor exponente del polinomio de la ecuación. Imaginemos que quisiéramos resolver la ecuación \(6x^4-8x^3-11x^2+12x+3=0\). Tras descartar los divisores \(x\pm1\), \(x\pm3\), \(2x\pm1\), \(3x\pm1\), \(2x\pm3\) y \(3x\pm3\), y también \(x^2+1\) y \(x^2\pm3\), probamos con \(2x^2\pm1\), \(2x^2\pm3\), \(3x^2\pm1\) y \(3x^2\pm3\).

De donde $$6x^4-8x^3-11x^2+12x+3=(2x^2-3)(3x^2-4x+1)=0$$ que nos lleva por un lado a $$2x^2-3=0 \rightarrow x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}}$$

y por otro a $$3x^2-4x+1=0 \rightarrow x=\frac{2\pm\sqrt{7}}{3}$$

Conclusión

Con algo de trabajo extra podemos tantear posibles soluciones irracionales en ecuaciones de grado superior a dos.