Aproximando radicales (fracciones simples)

La mayoría de los estudiantes aprenden (o aprendían) a calcular raíces cuadradas (cosa distinta es que alguien recuerde años después cómo se hace). Sin embargo, en muchas ocasiones es suficiente, o incluso preferible, contar con una aproximación racional (imaginaos la cara del dependiente de la mercería si le pedimos $\sqrt{6}$ metros en lugar de $2{,}45$ metros de cinta azul).

Aproximaciones babilónicas

En Babilonia, hace más de 3000 años, ya calculaban raíces cuadradas de forma aproximada. Veamos cómo.
Para resolver $\sqrt{N}$ de manera aproximada procedemos de la forma siguiente. Supongamos que sabemos que $p$ es la parte entera de dicha raíz. Entonces:

1. La media aritmética de $p$ y $\dfrac{N}{p}$ es una aproximación por exceso de $\sqrt{N}$.
2. Dividiendo $N$ entre la aproximación obtenida se obtiene una aproximación por defecto.
3. Repitiendo este proceso se obtienen alternativamente aproximaciones por exceso y por defecto.

Geométricamente, la obtención de la raíz  equivale al cálculo de la medida del rado de un cuadrado de área conocida.

Este método consiste en construir un rectángulo de la misma área que el cuadrado, con un lado que mide la parte entera y el otro $\dfrac{N}{p}$. Si tomamos la media aritmética de ambos lados tenemos un cuadrado algo mayor que el buscado.

Calculemos por ejemplo $\sqrt{10}$ (la calculadora nos da $3.16227766...$).

La parte entera de $\sqrt{10}$ es $3$. Por lo tanto,

$$\dfrac{3 + \frac{10}{3}}{2} = \dfrac{19}{6} \approx 3{,}16667$$

es una aproximación por exceso de $\sqrt{10}$.

Dividiendo $10$ entre la aproximación obtenida se conseguimos una aproximación por defecto:

$$\dfrac{10}{\frac{19}{6}} = \dfrac{60}{19} \approx 3{,}15789$$

Calculando la media aritmética entre las dos aproximaciones anteriores, tenemos de nuevo una aproximación por exceso:

$$\dfrac{\frac{19}{6}+\frac{60}{19}}{2} = \dfrac{\frac{361+360}{114}}{2} = \dfrac{721}{228} \approx 3.16228$$

Una aproximación excelente, especialmente en la mercería.

Método de Chuquet

Nicolas Chuquet, un personaje tan interesante como poco conocido, a finales del siglo XV, propuso el siguiente método para aproximar la raíz cuadrada de un número por una fracción.

Se sabe que si $\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{c}{d}$, entonces $\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a+b}{c+d} \lt \dfrac{c}{d}$.

Volvamos con $\sqrt{10}$. Acotamos la solución entre dos valores racionales cualesquiera; en este caso, 3 y 4.

$$3 \lt \sqrt{10} \lt 4$$

Puesto que se puede escribir $$\dfrac{3}{1} \lt \dfrac{4}{1}$$ usando el teorema anterior tenemos que $$\dfrac{3}{1} \lt \dfrac{3+4}{1+1} \lt  \dfrac{4}{1}$$ .

Entonces tomamos la fracción $\dfrac{7}{2}$ y la elevamos al cuadrado $\left(\dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{49}{4}$. Como $10 \lt \dfrac{49}{4}$ tenemos una nueva cota superior:

$$3 \lt \sqrt{10} \lt \dfrac{7}{2}$$

Repetimos ahora el proceso, 

$$3 \lt \dfrac{3+7}{1+2} \lt \dfrac{7}{2}$$

y elevamos al cuadrado la nueva fracción

$$\left(\dfrac{10}{3}\right)^2 = \dfrac{100}{9}$$

De nuevo $10 < \dfrac{100}{9}$, así que acercamos un poco más la cota superior:

$$3 \lt \sqrt{10} \lt \dfrac{10}{3}$$

Se puede repetir el proceso tantas veces como sea necesario, la precisión de la aproximación aumenta en cada paso.

Los siguientes valores son $\dfrac{13}{4}, \dfrac{16}{5}, \dfrac{19}{6}, \dfrac{22}{7} \ldots$ Los tres primeros son aproximaciones por exceso; el cuarto, por defecto.

Conclusión

Hay dos puntos claros a favor de método "babilónico":

Da alternativamente aproximaciones por exceso y por defecto; mientras que el método de Chuquet puede dar varias de cada tipo seguidas.

Converge más rápidamente: con el método de Chuquet hace falta calcular cinco valores para llegar a una aproximación como la conseguida por el primer método en un solo cálculo.

A cambio, el método de Chuquet es más sencillo: la obtención de la fracción que aproxima la raíz se limita a unas cuantas sumas; más aún, los denominadores son enteros relativamente pequeños.

Bibliografía

Sobre la aproximación de raíces cuadradas se puede consultar, entre otros:

• Meavilla, Vicente. La sinfonía de Pitágoras: conoce la divertida esencia de las matemáticas. Ed. Almuzara, 2010.
• Miralles de Imperial Llobet, Joan & Deulofeu Piquet, Jordi. Aproximaciones de las raíces cuadradas. Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, junio 2006; (52).