Por ejemplo, las ecuaciones bicuadradas (\(ax^4+bx^2+c=0\)) se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas; las que tienen, al menos, dos soluciones enteras se pueden resolver la regla de Ruffini...
Veamos un método que "acelera" la resolución de ciertas ecuaciones cuárticas que ni son bicuadradas ni tienen por qué tener soluciones enteras. Este procedimiento fue publicado a principios del siglo XIX por Miguel de Alvear, militar español, y mejora una idea anterior de Étienne Bézout.
Planteamiento
Sea una ecuación \(x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0\). Sin duda es posible escribir la ecuación como producto de dos polinomios de segundo grado
$$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=(x^2+mx+n)(x^2+px+q)$$
$$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=x^4+(m+p)x^3+(mp+q+n)x^2+(mq+np)x+nq$$
Igualando coeficientes se llega a
$$
\begin{array}
.
a = m + p \\ \\
b = mp + q + n \\ \\
c = mq + pn \\ \\
d = nq
\end{array}
$$
Despejamos \(p\) en la primera ecuación y en la tercera:
$$
\begin{array}
.
p = a - m \\ \\
p = \frac{c - mq}{n}
\end{array}
$$
Lógicamente
$$a - m = \frac{c - mq}{n}$$
Despejando \(q\) en la cuarta ecuación y sustituyendo en esta
$$a - m = \frac{c - m\frac{d}{n}}{n}$$
$$a - m = \frac{\frac{cn - md}{n}}{n}$$
$$a - m = \frac{cn - md}{n^2}$$
Multiplicamos por \(n^2\) toda la ecuación
$$an^2 - mn^2 = cn - md$$
y despejamos \(m\)
$$md - mn^2 = cn - an^2$$
$$m(d - n^2) = cn - an^2$$
$$m = \frac{cn - an^2}{d - n^2}$$
De manera que, para cada valor de \(n\), tenemos un valor de \(m\), \(p\) y \(q\).
$$
\begin{array}
.
q = \frac{d}{n} \\ \\
m = \frac{cn - an^2}{d - n^2} \\ \\
p = a - m \\ \\
\end{array}
$$
Si estos valores satisfacen la segunda ecuación \(b = mp + q + n\) (la cual no habíamos usado aún), tendremos una factorización de la ecuación cuártica y, por lo tanto, podremos resolverla simplemente resolviendo dos ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo
$$x^4-9x^3+29x^2-43x+14=0$$
Los valores de \(m\), \(p\) y \(q\) en función de \(n\) són:
$$
\begin{array}
.
q = \frac{14}{n} \\ \\
m = \frac{-43n + 9n^2}{14 - n^2} \\ \\
p = -9 - m \\ \\
\end{array}
$$
Y la condición que han de cumplir estos valores para que exista la factorización buscada es:
$$mp + q + n = 29$$
El valor de \(n\) es desconocido y, en general, difícil de hallar. Sin embargo, si nos limitamos a valores que hacen que \(q\) sea entero (es decir, divisores del término independiente), podemos construir una tabla como esta:
| n | m | p | q |
|---|---|---|---|
| 1 | \(\frac{-34}{13}\) | \(\frac{-83}{13}\) | 14 |
| -1 | 4 | -13 | -14 |
| 2 | -5 | -4 | 7 |
| -2 | \(\frac{61}{5}\) | \(\frac{-106}{5}\) | -7 |
Solamente los valores de la tercera fila satisfacen la condición \(mp + q + n = 29\); por lo tanto, podemos factorizar nuestra ecuación de la forma siguiente:
$$x^4-9x^3+29x^2-43x+14=(x^2-5x+2)(x^2-4x+7)=0$$
Por lo que las cuatro soluciones de la ecuación original són las soluciones de
$$x^2-5x+2=0$$
$$x^2-4x+7=0$$
Es decir,
$$x = \frac{5\pm\sqrt{17}}{2}$$
$$x = 2\pm i\sqrt{3}$$
Algun lector —¿hay alguien?— se preguntará por qué no hemos incluido en la tabla los valores \(n=7\), \(n=14\), etc. Puesto que \(nq=d\) y como los dos polinomios que buscamos son de grado dos, el caso \(n=7\) y \(q=2\) y el caso \(n=2\) y \(q=7\) no son distintas.
Lo más interesante de este método es que, con el mismo procedimiento, podemos obtener factorizaciones en las que \(n\), \(m\), \(p\) o \(q\) son irracionales. Veámoslo:
Tomemos, por ejemplo, la ecuación $$x^4+6x^3+9x^2-8=0$$
Los valores de \(m\), \(p\) y \(q\) en función de \(n\) són:
$$
\begin{array}
.
q = \frac{-8}{n} \\ \\
m = \frac{-6n^2}{-8 - n^2} \\ \\
p = 6 - m \\ \\
\end{array}
$$
Los divisores enteros de 8 no satisfacen la ecuación \(mp + q + n = 9\), así que probamos con \(\pm\sqrt{2}\) y \(\pm\sqrt{8}\).
En este último caso se satisface la ecuación \(mp + q + n = 3\cdot3-\sqrt{8}+\sqrt{8}=9\), de modo que la factorización buscada es
$$x^4+6x^3+9x^2-8=(x^2+3x+\sqrt{8})(x^2+3x-\sqrt{8})=0$$
Y cuyas soluciones son
$$
\begin{array}
.
x = \frac{-3\pm i\sqrt{8\sqrt{2}-9}}{2} \\ \\
x = \frac{-3\pm\sqrt{8\sqrt{2}+9}}{2}
\end{array}
$$
Como se puede apreciar, este método, permite obtener las soluciones de algunas ecuaciones de grado cuarto sin tener que recurrir al farragoso procedimiento general; hecho que, en ausencia de computadoras, resultaba muy interesante.
Para la próxima entrada prometo algo más "ligerito". Mientras tanto, ¡seguid dudando!
Algun lector —¿hay alguien?— se preguntará por qué no hemos incluido en la tabla los valores \(n=7\), \(n=14\), etc. Puesto que \(nq=d\) y como los dos polinomios que buscamos son de grado dos, el caso \(n=7\) y \(q=2\) y el caso \(n=2\) y \(q=7\) no son distintas.
Ejemplo con coeficientes irracionales
Lo más interesante de este método es que, con el mismo procedimiento, podemos obtener factorizaciones en las que \(n\), \(m\), \(p\) o \(q\) son irracionales. Veámoslo:
Tomemos, por ejemplo, la ecuación $$x^4+6x^3+9x^2-8=0$$
Los valores de \(m\), \(p\) y \(q\) en función de \(n\) són:
$$
\begin{array}
.
q = \frac{-8}{n} \\ \\
m = \frac{-6n^2}{-8 - n^2} \\ \\
p = 6 - m \\ \\
\end{array}
$$
Los divisores enteros de 8 no satisfacen la ecuación \(mp + q + n = 9\), así que probamos con \(\pm\sqrt{2}\) y \(\pm\sqrt{8}\).
| n | m | p | q |
|---|---|---|---|
| \(\sqrt{2}\) | \(\frac{6}{5}\) | \(\frac{24}{5}\) | \(-4\sqrt{2}\) |
| \(\sqrt{8}\) | 3 | 3 | \(-\sqrt{8}\) |
En este último caso se satisface la ecuación \(mp + q + n = 3\cdot3-\sqrt{8}+\sqrt{8}=9\), de modo que la factorización buscada es
$$x^4+6x^3+9x^2-8=(x^2+3x+\sqrt{8})(x^2+3x-\sqrt{8})=0$$
Y cuyas soluciones son
$$
\begin{array}
.
x = \frac{-3\pm i\sqrt{8\sqrt{2}-9}}{2} \\ \\
x = \frac{-3\pm\sqrt{8\sqrt{2}+9}}{2}
\end{array}
$$
Como se puede apreciar, este método, permite obtener las soluciones de algunas ecuaciones de grado cuarto sin tener que recurrir al farragoso procedimiento general; hecho que, en ausencia de computadoras, resultaba muy interesante.
Para la próxima entrada prometo algo más "ligerito". Mientras tanto, ¡seguid dudando!
Bibliografía
- Ricardo Moreno Castillo. Una historia de las matemáticas para jóvenes. Historia de las ecuaciones. Nivola: colección violeta 24, Madrid 2010.
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