Divide y multiplica sin saber las tablas

Quién no recuerda la época en la que tuvo que aprender las tablas de multiplicar. Algunos profesores usaban "métodos musicales"; otros, exámenes sorpresa; unos pocos, novedosos y motivadores sistemas. Todos, sin duda alguna, tenían la vista puesta en la división: uno de los caballos de batalla de estudiantes y maestros durante la primaria.

Sin embargo, aunque pueda parecer mentira, ¡se puede multiplicar y dividir sin saber más que sumar y restar!

Multiplicación

Esta forma de multiplicar, conocida como método del campesino ruso (entre otros muchos nombres), la (re)descubrí leyendo Hacker News, que me llevó a esta entrada de Lienhard.

Supongamos que queremos multiplicar 2345 por 17.

Tomamos uno de los factores, y lo dividimos sucesivamente entre dos –se puede hacer como el que reparte cromos: uno para ti y uno para mí— (truncando el resultado si no es entero) y escribiendo los números obtenidos en una columna (hasta llegar a la unidad).

Con el otro factor de procede al revés, se va doblando el número anterior y copiando los resultados en columna.

Tachamos las filas que tienen un número par en la primera columna

El producto es la suma de los números que quedan sin tachar en la segunda columna. En este caso, \(2345\cdot17=136+544+4352+34816=39865\)

Evidentemente, se podría haber hecho dividiendo el 17 y multiplicando el 2345

con lo que el resultado se obtiene mucho más rápidamente

 \(2345\cdot17=2345+37520=39865\)

Explicación

Este método reproduce el algoritmo de la multiplicación si expresamos los números en binario.

Veamos el ejemplo anterior: escribimos 17 y 2345 en binario.

Efectuamos la multiplicación recordando las tablas de multiplicar en binario (0×0=0, 0×1=0 y 1×1=1):

Nótese la coincidencia de los números obtenidos con el método del campesino ruso.

División

Buscando la forma de dividir sin necesidad de saber las tablas de multiplicar llegué a la genial entrada del famosísimo Adrián Paenza, sin recordar que ya lo había leido en su libro Matemática... ¿estás ahí? Episodio 2 (donde, por cierto, también habla de la multiplicación).

Supongamos que queremos dividir 99 entre 17.

Se toma el divisor y se duplica sucesivamente hasta que llegue al valor del dividendo (sin pasarse). En nuestro caso: 17, 34 (\(= 2\cdot17\)), 68 (\(= 2\cdot 34\)) y, puesto que 136 (\(=2\cdot68\)) es mayor que 99, el último será 99. Estos números se colocan en una columna. A la derecha escribimos las potencias de 2 (comenzando por \(2^0\), una por cada uno de los números anteriores.

Empezamos restando al último número de la primera columna el penúltimo.

El resultado se coloca en la segunda columna, junto al sustraendo. Si este resultado es mayor que el siguiente número de la primera columna se repite el proceso; si no, se copia en la tercera columna una fila por encima, como en este caso.

Si este número es mayor que el que ocupa la fila superior de la primera columna, se resta; si no, se copia en la fila superior en la tercera columna. Estos pasos se repiten hasta que se llega a la primera fila.

El cociente se obtiene sumando los números de la cuarta columna que tienen "vecino" en la segunda columna; el resto es el número que está en la posición más alta de la segunda columna.

En este caso, el cociente es \(1+4=5\) y el resto 14.

Explicación

Este método, igual que en el caso anterior, reproduce los pasos del algoritmo habitual de la división si la llevamos a cabo con los números expresados en binario.

Rehagamos el ejemplo anterior. Escribimos 99 y 17 en binario y nos ponemos manos a la obra.

Tomamos cinco cifras del dividendo y vemos que "cabe" a 1 (escribiremos la resta explícitamente para que todo quede un poco más claro):

A continuación "bajamos" la cifra siguiente:

Puesto que 1111 es menor que 10001, ponemos un 0 en el cociente y bajamos la cifra siguiente:

De nuevo "cabe" a 1 —sí, en binario, hay pocas opciones—

Vemos finalmente que el cociente es \(5 = 1\cdot4+0\cdot2+1\cdot1\) y el resto 14.

Conclusión

Queda demostrado que no es necesario obsesionarse con los algoritmos habituales de la multiplicación y la división; la obsesión debería limitarse a trabajar los conceptos respectivos: de poco sirve dominar el algoritmo si después no se sabe qué hacer con él.