Las medias (I)

Cualquier estudiante de secundaria conoce unos cuantos parámetros estadísticos; al menos "los de la m": la moda, la mediana y la media. Sin embargo, como veremos, no es correcto hablar de la media. ¡Empecemos!

La media aritmética

Probablamente el parámetro estadístico más conocido es la media aritmética. A esto contribuye, sin duda, que se use habitualmente como sistema para calcular la calificación de los estudiantes. Así, por ejemplo, si un alumno ha obtenido las calificaciones 4, 7 y 8 en sendos exámenes de álgebra, el profesor puede calcular su nota global sumando las tres notas y dividiendo entre 3:

$$n_g = \frac{4+7+8}{3} ~= 6{,}33$$

Definición

En general, si tenemos \(n\) números \(\{x_1, x_2, ... , x_n\}\), la media aritmética de dichos números se calcula

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$

expresión que a los profesores les gusta escribir así

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$$

Uso

Se puede encontrar en prácticamente todas las disciplinas. Hablamos del sueldo medio, de la media de goles por partido de tal o cual jugador, de la edad media de inicio en el consumo de alcohol...

El uso de este parámetro está tan extendido que a menudo decimos simplemente 'media' para referirnos a la 'media aritmética'. Sin embargo, existen otras medias como la media geométrica, la media armónica o la media cuadrática.

La media geométrica

Recuperemos el ejemplo inicial, si el profesor decidiese usar la media geométrica para calificar haría lo siguiente:

$$n_g = \sqrt[3]{4\cdot7\cdot8} ~= 6{,}07 $$

Lo cual no alegraría mucho a sus alumnos, claro.

Definición

En caso de tener un conjunto de \(n\) números \(\{x_1, x_2, ..., x_n\}\), la media geométrica se calcula según la expresión

$$ G = \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot ...\cdot x_n} $$

o, en su versión más elegante,

$$ G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}$$

Nótese la analogía entre ambas definiciones: para calcular la media aritmética sumamos y dividimos; para la geométrica, multiplicamos y sacamos la raíz cuadrada.

Uso

Alguno de los escasos lectores que hayan aguantado hasta aquí estará pensando "Muy bonito, pero ¿eso lo usa alguien además de algún profesor extravagante?". Evidentemente, la respuesta es afirmativa.

En el excelente blog Mati, una profesora muy particular hay un ejemplo perfecto para ilustrarlo. Aquí lo reproducimos ligerísimamente modificado.

Imaginemos que las tasas universitarias hubiesen subido un 80% en 2011, un 5% en 2012 y un 5% en 2013. En ese caso, si en 2010 el precio del crédito ETCS hubiese sido de 10€ ahora costaría $$ P_{2013} = 10 \cdot 1{,}8 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 19{,}85€ $$

¿Cuál habría sido el incremento medio de los tres años? Parece claro que el incremento medio se podría obtener calculando la media aritmética de los tres datos $$\text{incremento medio} = \frac{1{,}8+1{,}05+1{,}05}{3} = 1{,}3 $$ Es decir, un 30%. Veamos por qué no puede ser.

Si el incremento medio fuese del 30%, podríamos tomar el precio en 2010, aplicar este aumento tres veces consecutivas y obtendríamos el precio actual. Si lo hacemos así, obtenemos un precio algo mayor que el real: $$ P_{2013} = 10 \cdot 1{,}3 \cdot 1{,}3 \cdot 1{,}3 = 21{,}97€ $$

En cambio, si calculamos el incremento medio usando la media geométrica obtenemos $$\text{incremento medio} = \sqrt[3]{1{,}8\cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05} ~= 1{,}25666 $$ Que, aplicado tres veces consecutivas da el precio correcto $$ P_{2013} = 10 \cdot 1{,}25666 \cdot 1{,}25666 \cdot 1{,}25666 = 19{,}85€ $$

Pero la media geométrica se usa en muchos otros casos. Como, por ejemplo, cálculo del índice de refracción de la película antireflectante de las lentes, cálculo del flujo de calor en sistemas esféricos, cálculos con líneas trifásicas, cálculo de primas para pólizas de seguros, obtención de las dimensiones de los tamaños del papel DIN-B (relacionado con las medidas del mucho más conocido DIN-A) o medidas del rendimiento de ordenadores, entre otros.

Incluso se proponen nuevos usos como el cálculo de la función renal.

Características "desafortunadas"

La media geométrica, sin embargo, presenta algunas dificultades.

No siempre es real

Si el número de datos es par y hay un número impar de datos negativos, el resultado no es real. Por ejemplo: la media geométrica de -1 y 1 $$ G = \sqrt{(-1)\cdot 1} \notin \mathbb{R}$$

Los datos negativos generan resultados inconsistentes

Si el número de datos es impar y hay un número impar de datos negativos, el resultado es negativo. Por ejemplo, la media geométrica de -1, 1 y 8. $$ G = \sqrt[3]{(-1)\cdot 1 \cdot 8} = -2 $$

En cambio, si el número de datos negativos es par, independientemente de cuántos sean en total, el resultado es el mismo que si todos los valores fuesen positivos. $$ G = \sqrt[3]{(-1) \cdot (-2) \cdot 4} = \sqrt[3]{1 \cdot 2 \cdot 4} = 2 $$

Un solo valor nulo "arrastra" a todos los demás

Si uno de los datos es cero, la media geométrica es cero independientemente del resto de los datos. $$ G = \sqrt[4]{0 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 5} = 0 $$

Es decir, la media geométrica está bien definida si todos los datos son estrictamente mayores que cero.

Conclusión

La media aritmética no es la única "media" y, de hecho, usarla en ciertos casos lleva a resultados incorrectos.

En la próxima entrega continuaremos nuestra aproximación a los parámetros estadísticos menos (re)conocidos y a algunas de sus propiedades matemáticas. Mientras tanto, ¡seguid dudando!