Fracciones continuas y números metálicos

Una fracción continua simple es una expresión de la forma

$$ x = a_0 + \cfrac{1}{a_1+ \cfrac{1}{a_2+ \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{\ddots} } } }$$

donde \(a_0\) en un entero cualquiera y \(a_n\) son enteros positivos.

Las fracciones continuas aparecieron en la antigüedad, fueron desarrolladas formalmente a partir del siglo XVIII y se fueron arrinconando durante el siglo XX. Hoy en día se usan poco y en contextos bastante especializados.

Sin embargo, son fuente de un sinfín de satisfacciones y curiosidades.

• La fracción continua equivalente a un número racional es siempre finita.
• La fracción continua equivalente a un número irracional cuadrático es siempre periódica.
• En cambio, para el resto de los irracionales la fracción continua equivalente es infinita y no periódica.

Números racionales

Para obtener la fracción continua de un número racional se procede de la siguiente manera:

1. Se toma la parte entera: ese es el valor del coeficiente \(a_n\).
2. Se resta la parte entera al número en cuestión.
3. El proceso finaliza si esta diferencia es nula.
4. Si no, se toma la diferencia, se invierte y se repite el proceso.

Supongamos, por ejemplo, que queremos calcular la fracción continua de \(\frac{11}{3}\).

1. La parte entera es 3. Este el el valor \(a_0\).
2. Restamos \(\frac{11}{3}-3=\frac{11-9}{3}=2/3\).
3. Como la diferencia no es nula, la invertimos y repetimos el proceso.
4. La parte entera es \(\frac{3}{2}=1\). Este es el valor \(a_1\).
5. Restamos \(\frac{3}{2}-1=\frac{3-2}{2}=\frac{1}{2}\). 
6. Como la diferencia no es nula, la invertimos y repetimos el proceso.
7. La parte entera es \(2\). Este es el valor de \(a_2\)
8. Restamos \(\frac{2}{1}-2=0\).
9. Puesto que la diferencia es nula, hemos acabado el proceso.

La fracción continua es

$$ \frac{11}{3} = 3 + \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{2} }$$

Es habitual usar una notación mucho más compacta y sencilla de escribir: \([a_0; a_1, a_2...]\), que en este caso quedaría \([3; 1, 2]\).

Números irracionales cuadráticos

Calculemos, por ejemplo, la fracción continua de \(\sqrt{6}\).

1. La parte entera es 2. Este es el valor de \(a_0\).
2. Restamos \(\sqrt{6}-2\).
3. Como la diferencia no es nula, la invertimos $$\frac{1}{\sqrt{6}-2}$$
4. Racionalizamos $$\frac{1}{\sqrt{6}-2}\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}+2}=\frac{\sqrt{6}+2}{6-4}=\frac{\sqrt{6}+2}{2}$$
5. Ahora sustituimos \(\sqrt{6}\) por su aproximación "actual" (que, de momento, es 2) y obtenemos que la "parte entera" es $$\frac{\sqrt{6}+2}{2} \approx \frac{2+2}{2} = 2$$. Este es el valor de \(a_1\).
6. Restamos esta "parte entera" al valor actual $$\frac{\sqrt{6}+2}{2}-2 = \frac{\sqrt{6}+2-4}{2} = \frac{\sqrt{6}-2}{2}$$
7. Invertimos el resultado $$\frac{2}{\sqrt{6}-2}$$
8. Racionalizamos: $$\frac{2}{\sqrt{6}-2}\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}+2}=\frac{2(\sqrt{6}+2)}{6-4}=\sqrt{6}+2$$
9. Ahora, sustituyendo de nuevo \(\sqrt{6}\) por su aproximación "actual", tenemos $$\sqrt{6}+2 \approx 2+\frac{1}{2}+2 = \frac{9}{2}$$ cuya parte entera es 4. Este es el valor de \(a_2\).
10. Al volver a restar 4 a \(\sqrt{6} + 2\) volvemos a obtener  \(\sqrt{6}-2\), de manera que la fracción continua de \(\sqrt{6}\) es periódica: $$\sqrt{6}=2 + \cfrac{1}{2+ \cfrac{1}{4+ \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots} } } }$$ 

Que se puede escribir $$\sqrt{6} = [2; \overline{2, 4}] $$ donde la barra horizontal indica la repetición infinita de los términos que tiene debajo.

La ventaja de escribir los irracionales cuadráticos como fracción continua es que si tomamos un numero finito de términos de la fracción infinita el resultado será una aproximación por exceso (o por defecto), y si tomamos un término más, lo será por defecto (o por exceso). Esto no siempre sucede con otros métodos para aproximar radicales.

Números metálicos

Nada que ver con los electrones de la capa de valencia. ;-)

Como es sabido, el número áureo (\(\varphi\)) es solución de la ecuación \(x^2=x+1\). Puesto que la solución de la ecuación no es cero, podemos dividir toda la expresión por \(x\):

$$x=1+\dfrac{1}{x}$$

Sustituyendo ahora \(x\) por \(1+\frac{1}{x}\) se obtiene

$$x=1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{x}}$$

Repitiendo la sustitución se llega a

$$\varphi=1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ddots} } } }$$

Es decir, el número áureo se puede escribir

$$\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} = [1;\overline{1}]$$

Sabiendo cómo son los matemáticos, ¿a alguien le extrañaría que después del número de oro viniese el de plata, el de bronce…?

Consideremos, pues, la ecuación

$$x^2=px+1$$

con \(p\) entero positivo (\(p\in\mathbb{Z}^{+}\)).

Dividimos entre \(x\)

$$x=p+\dfrac{1}{x}$$

sustituimos

$$x=p+ \cfrac{1}{p+ \cfrac{1}{x}}$$

y sustituimos, y sustituimos y…

$$x=p+ \cfrac{1}{p+ \cfrac{1}{p+ \cfrac{1}{p + \cfrac{1}{\ddots} } } }$$

Es decir, la fracción continua equivalente a las soluciones de la ecuación \(x^2=px+1\) es $$x=[p;\overline{p}]$$

• Si \(p=2\), tenemos el número de plata $$\delta_{2}=\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}=[2;\overline{2}]$$.
• Si \(p=3\), tenemos el número de bronce $$\delta_{3}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}=[3;\overline{3}]$$

Los lectores más tiquismiquis estarán pensando qué pasaría si la ecuación tuviese un término de grado cero distinto de uno. Veamos qué metales nos trae:

$$x^2=px+q$$

Si \(p=1\) y \(q=2\), la solución positiva és $$x=\dfrac{1+\sqrt{1-4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2}=2$$ conocido como número de cobre. Siendo este un número metálico natural, ¿no se merecería este el oro? Quizá sí, pero llega unos cuantos siglos tarde: el nombre ya tenía dueño… Y, además, Fibonacci pesa mucho aquí.

Si \(p=1\) y \(q=3\) llegamos al número de níquel: $$x=\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}-1=\delta_{3}-1=[3;\overline{3}]-1=[2;\overline{3}]$$

Si \(p=2\) y \(q=2\), cuya solución positiva es $$x=1+\sqrt{3}=[2;\overline{1, 2}]$$ el número de platino.

Hay infinitos números metálicos y, lógicamente, no todos tienen nombre. Puede ser un buen pasatiempo para las calurosas tardes veraniegas ir tomando valores de \(p\) y \(q\) y dedicarse a pensar que metal les "pega más".

Bibliografía

1. Introduction to continued fractions
2. Números metálicos
3. La familia de los números metálicos