Las medias (y IV)

La media cuadrática es mayor o igual que la aritmética

Volviendo a la circunferencia de diámetro $a+b$ construida en la entrada anterior, el segmento $OC'$ mide $\frac{a-b}{2}$

ya que el radio es $\frac{a+b}{2}$  y, puesto que el segmento $BC'$ mide $b$, $$\lvert\overline{AC'}\rvert=\frac{a+b}{2}-b = \frac{a+b}{2}-\frac{2b}{2}=\frac{a-b}{2}$$

Trazamos ahora un radio perpendicular al segmento $AB$

y construimos el triángulo rectángulo $OC'E$

La hipotenusa de dicho triángulo, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, mide

$$\text{hip}=\sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2}{4}+\frac{a^2-2ab+b^2}{4}}=\sqrt{\frac{2a^2+2b^2}{4}}$$

Es decir, $$\text{hip}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$

Como dicha hipotenusa, por construcción, es siempre mayor o igual que el radio de la circunferencia (que es uno de los catetos), tenemos que

$$\bar{x}\le Q$$

La media armónica es menor o igual que la media geométrica

Volviendo a nuestra circunferencia

Trazamos una perpendicular al segmento $\overline{OC}$ que pase por $C'$.

Los triángulos $COC'$ y $CJC'$ son semejantes

por lo que, de acuerdo con el primer teorema de Tales, se cumple que $$\frac{\lvert\overline{CJ}\rvert}{\lvert\overline{CC'}\rvert}=\frac{\lvert\overline{CC'}\rvert}{\lvert\overline{CO}\rvert}$$

Como vimos en la entrada anterior,

$$\lvert\overline{CC'}\rvert = G \text{(la media geométrica)}$$

$$\lvert\overline{CO}\rvert = \bar{x} \text{(la media aritmética)}$$

de donde

$$\lvert\overline{CJ}\rvert = \frac{G^2}{\bar{x}}=\frac{ab}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2ab}{a+b}$$

Puesto que la media geométrica de $a$ y $b$ es, por definición, $$H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$

y que se puede escribir $$H=\frac{2}{\frac{b+a}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}$$

el segmento $\overline{CJ}$ es igual a la media armónica de $a$ y $b$. Dicho segmento es un cateto del triángulo $CJC'$ y, en consecuencia, siempre será menor o igual que su hipotenusa (el segmento $CC'$); de manera que $$H \le G$$

Conclusión

Puesto que $H \le G$, $G \le \bar{x}$ y $\bar{x} \le Q$, se concluye que $$H \le G \le \bar{x} \le Q$$

Un excelente documento para profundizar en este campo es What mean do you mean? An exposition on means (Tesis de Mabrouck K. Faradj).

Para la próxima entrada, un tema radicalmente distinto. Mientras tanto, ¡seguid dudando!