Tamaño desafío --no considerar esférico un gato-- es un reto casi imposible para un físico vulgar como yo. Sin embargo, aprovecharé la ocasión para hablar de modelos científicos.
Un modelo científico es una abstracción de un fenómeno, en este caso físico, que nos permite analizar, describir, predecir, etc. dicho fenómeno.
Veamos cómo se aplica esto al ejemplo del gato.
Analizar qué pasaría si un gato saltase desde un avión es una cuestión prácticamente imposible por la cantidad de aspectos implicados: cómo es el gato, qué posiciones adopta durante el salto, cómo es el avión, qué corrientes atmosféricas afectan al salto, cómo influye la rotación de la Tierra, etc. Por eso necesitamos modelos que reduzcan la complejidad sin desvirtuar el problema.
Nota: Si no sabes qué es una ecuación diferencial (o si preferirías olvidarlo), sáltate las partes marcadas en gris.
Sin rozamiento
Empecemos con un modelo supersimplificado: un gato se deja caer de un avión en reposo a una altura h sobre un planeta en el que no hay atmósfera. Si no hay atmósfera no habrá rozamiento ni corrientes de aire; si el avión está en reposo respecto del suelo la trayectoria del gato será perfectamente vertical. Además, ya puestos, supondremos que la atracción gravitatoria no varía con la distancia (el planeta nos atrae con la misma fuerza estemos a 10 metros o a 8000).En tal caso, de acuerdo con las ecuaciones del MRUA (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado),
$$ 0 = h - \dfrac{gt^2}{2} $$
$$ v = gt $$
de donde, despejando \(t\) en la primera ecuación,
$$ t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$$
y sustituyendo en la segunda, se obtiene
$$ v = g\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{g^2\frac{2h}{g}}=\sqrt{2hg}$$
En el caso de nuestro gato, si cayese desde 8000 y la gravedad terrestre fuese de \(9{,}8 \text{m/s}^2\), la velocidad al llegar al suelo sería de
$$ v = \sqrt{2\cdot8000\cdot9{,}8} \approx 400 \text{m/s}$$
Más rápido que el sonido: Mach 1,2 (¡unos 1400 km/h!).
Con rozamiento
Claro está que el efecto del rozamiento con el aire no se puede ignorar alegremente. Se lo podéis preguntar a Marc Márquez, por ejemplo.Veamos cómo cambian las cosas si modificamos el modelo para tener en cuenta que hay una atmósfera que ofrece resistencia al movimiento del gato. Aquí volvemos a simplificar considerando que la densidad de aire es la misma a cualquier altura (aunque sabemos que disminuye a medida que ascendemos) y que no hay corrientes de ningún tipo.
Cualquier persona que haya montado en bici, o en moto, sabe que la resistencia que ofrece el aire aumenta a medida que se incrementa la velocidad (la resistencia que noto yo cuando pedaleo es mucho menor que la que ha de soportar Daniel Pedrosa).
¿Cómo varía, pues, la resistencia con la velocidad?
Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad
Supongamos que la resistencia que ofrece el aire fuese proporcional a la velocidad$$F_{r}=mkv$$
donde \(m\) es la masa del gato, \(k\) es una constante que depende de la densidad aire (que varía con la altura, aunque aquí la consideraremos constante), del gato y de la posición que adopte; \(v\) es la velocidad.
Esta suposición es equivalente a considerar que el movimiento del fluido, visto desde el punto de vista del gato, se mueve en láminas paralelas (sin formar remolinos ni mezclarse). Es lo que se conoce como régimen laminar.
Resolución con ecuaciones diferenciales
De acuerdo con la segunda ley de Newton, suponiendo también que la masa del gato sea constante —es suficiente que el pelo que va perdiendo a causa del miedo no sea una fracción significativa de su masa—$$m\frac{dv}{dt} = mg - mkv$$
Dividiendo toda la ecuación entre \(m\),
$$\frac{dv}{dt} = g - kv$$
e integrando, se obtiene
$$\frac{-1}{k}\ln(g - kv) = t + C$$
Puesto que el gato "se deja caer", cuando \(t=0 \rightarrow v=0\), entonces \(C=\frac{-1}{k}\ln(g)\); de modo que la expresión anterior queda
$$\frac{-1}{k}\ln(g - kv) = t + \frac{-1}{k}\ln(g)$$
de donde, despejando \(v\), se llega a
$$ v = \frac{g}{k}(1 - e^{-kt})$$
A medida que el tiempo crece, la velocidad tiende a \(\frac{g}{k}\); es decir,
$$ v_{t} = \lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{g}{k}(1 - e^{-kt}) = \frac{g}{k}$$
Resolución sin ecuaciones diferenciales
Se puede obtener la velocidad terminal (aunque no la velocidad en los instantes anteriores) de la siguiente manera.De acuerdo con la segunda ley de Newton
$$ma = mg - mkv$$
La velocidad terminal se alcanza si la resistencia del aire compensa la gravedad terrestre; en tal caso la aceleración será nula, por lo que
$$ 0 = mg - mkv $$
De donde
$$ mkv = mg$$
y, finalmente,
$$ v = \frac{g}{k} $$
Cálculo de la velocidad
Suponiendo que \(k = 0{,}1\), la velocidad del gato al llegar al suelo (de hecho, en toda la última parte del "salto") sería$$ v_{t} = \frac{g}{k} \approx \frac{9{,}8}{0{,}1} \approx 100 m/s$$
¡Cuatro veces más lento que si no hubiese aire! ("Solo" 360 km/h)
Ahora bien, considerar que la fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la velocidad es una aproximación aceptable a velocidades bajas (por debajo de 20 o 30 m/s), o en caso de fluidos muy viscosos (que no es el caso). Así, pues este modelo da resultados ajustados a los experimentos si el gato se deja caer desde una altura no muy grande (pero no desde 8000 metros).
Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad
Para nuestro caso, resulta más adecuado suponer que la fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad:$$F = -mqv^2$$
Donde \(q\) es una constante que, como \(k\) en el caso anterior, depende del gato y de su posición, y de la densidad del aire (ambas constantes tienen valores diferentes).
Esta suposición equivale a considerar que el aire se mueve respecto al gato en régimen turbulento; es decir, de manera caótica.
Resolución con ecuaciones diferenciales
Escribimos la segunda ley de Newton$$m\frac{dv}{dt} = mg - mqv^2$$
Dividimos toda la ecuación entre \(m\),
$$\frac{dv}{dt} = g - qv^2$$
e integramos
$$\frac{dv}{g - qv^2} = dt$$,
introducimos las condiciones iniciales (\(v=0\) en \(t=0\), por lo que \(C=0\)) i despejamos \(v\)
$$ v = \sqrt{\frac{g}{q}}\tanh(t\sqrt{qg})$$
A medida que aumenta el tiempo, la velocidad tiende a \(\sqrt{\frac{g}{q}}\)
$$ v = \lim_{t \rightarrow +\infty}\sqrt{\frac{g}{q}}\tanh(t\sqrt{qg}) = \sqrt{\frac{g}{q}}$$
Resolución sin ecuaciones diferenciales
De acuerdo con la segunda ley de Newton,
si la resistencia del aire compensa la atracción grativatoria, la aceleración será nula
$$0 = mg - mqv^2$$
De donde
$$ mqv^2 = mg $$
y
$$v = \sqrt{\frac{g}{q}}$$
Cálculo de la velocidad
Para un gato podríamos tomar \(q=0.004\), en cuyo caso la velocidad terminal del sufrido gato sería$$ v \approx 50 \text{m/s} $$
La octava parte del valor predicho en el caso "sin rozamiento": unos 180 km/h.
Conclusión
Para determinar qué modelo es más adecuado habría que hacer el experimento, medir la velocidad del gato y elegir. Evidentemente el gato no tiene la culpa de nuestras veleidades científicas, así que tendríamos que buscar un sustituto artificial dejado caer desde una torre (mucho más barato que fletar un avión): por ejemplo un cilindro de madera, un muñeco de peluche...
El primer modelo, considerar que no hay rozamiento con el aire, nos da resultados compatibles con las medidas experimentales solamente para caidas desde alturas muy reducidas (o un poco mayores para cuerpos muy densos y aerodinámicos). Suponer que el aire ofrece una resistencia directamente proporcional nos permite explicar caidas desde mayores alturas. Si se desea analizar una caida desde gran altura hay que considerar que la dependencia de la fricción con la velocidad es cuadrática.
En la siguiente gráfica, hemos representado la velocidad del gato en función del tiempo. La línea roja —la recta, para quien no distinga colores— corresponde al primer modelo; la verde —la de enmedio—, al segundo y la azul, al tercero.
Aun así, hemos dejado "cabos sueltos". Si quisiéramos describir con mayor precisión el movimento deberíamos tener en cuenta esos detalles que hemos ignorado: la densidad del aire no es constante, el valor de \(g\) varia según dónde nos encontremos, la rotación de la Tierra provoca el llamado efecto Coriolis...
Hasta la próxima entrada. Mientras tanto, ¡seguid dudando!
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