La ecuación cúbica

Desde hace un par de siglos se sabe que no existe una "fórmula" que resuelva de forma general las ecuaciones de grado mayor o igual que cinco (al estilo de la famosa "fórmula" de la ecuación de segundo grado).

Esto no quiere decir que no tengan solución; de hecho, cualquier ecuación polinómica de grado n tiene n soluciones. Es más, existen soluciones analíticas en algunos casos particulares; pero no una solución general.

Esto significa, pues, que existe una "fórmula" para la ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica).

Los estudiantes de secundaria aprenden a resolver ecuaciones de grado n factorizando el polinomio, normalmente mediante la relga de Ruffini, y resolviendo \(n-2\) ecuaciones de primer grado y una de segundo grado (o bien n de primer grado, claro).

Este método es sencillo si la ecuación tiene, al menos, \(n-2\) soluciones enteras. Esto es así porque para factorizar el polinomio, hay que probar con los divisores de la forma \(x-a\); si \(a\) es un entero, ha de ser divisor del término independiente de la ecuación, lo cual limita mucho el número de intentos. Pero si  no es entero las probabilidades de encontrarlo por ensayo-error...

Algunos de mis alumnos, vistos los excelentes servicios prestados por la "fórmula" de las ecuaciones de segundo grado insistían en que les diese la de las ecuaciones de tercer grado. Yo les advertí que no les gustaría, pero...

El descubrimiento de la solución de la ecuación de tercer grado es un "culebrón" de primera: Dal Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari... Pero este blog es demasiado estrecho para contar esa historia... ;-)

Demostración

Supongamos una ecuación cúbica \(x^3+ax^2+bx+c=0\).

Alguien podría preguntarse qué pasa si el coeficiente de \(x^3\) no es 1. Simplemente hay que dividir toda la ecuación por dicho número.

Vamos, pues, a resolver la ecuación: hacemos el cambio \(x=z-\frac{a}{3}\).

$$\Big(z-\frac{a}{3}\Big)^3+a\Big(z-\frac{a}{3}\Big)^2+b\Big(z-\frac{a}{3}\Big)+c=0$$

desarrollamos los binomios

$$z^3-3z^2\frac{a}{3}+3z\frac{a^2}{9}-\frac{a^3}{27}+a\Big(z^2-2z\frac{a}{3}+\frac{a^2}{9}\Big)+b\Big(z-\frac{a}{3}\Big)+c=0$$

"arreglamos" un poco la cosa y obtenemos

$$z^3+\Big(b-\frac{a^2}{3}\Big)z+\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c=0$$

Expresión que se puede escribir —con el fin que conservar unos minutos más la cordura—

$$z^3+pz+q=0$$

Donde, lógicamente, \(p=(b-\frac{a^2}{3})\) y \(q=\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c\).

Hemos reducido el problema a una ecuación sin término en cuadrático... Ahora viene la genialidad (de paternidad muy discutida): sean \(u\) y \(v\) dos números tales que \(z=u+v\); sustituyendo nos queda

$$(u+v)^3+p(u+v)+q=0$$

Desarrollamos el primer término

$$u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+p(u+v)+q=0$$

y sacamos factor común \(3uv\) en el segundo y tercer sumando

$$u^3+3uuv+3uvv+v^3+p(u+v)+q=0$$
$$u^3+3uv(u+v)+v^3+p(u+v)+q=0$$

y, ahora, factor común \(u+v\)

$$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0 $$

Esta ecuación tiene tres soluciones, una de ellas, seguro, se da si

$$\left.
u^3+v^3+q=0 \atop
3uv+p=0
\right\}$$

Para resolver este sistema, despejamos, por ejemplo, \(v\) en la segunda ecuación \(v=\frac{-p}{3u}\) y la sustituimos en la primera:

$$u^3-\frac{-p^3}{27u^3}+q=0$$

Multiplicamos toda la ecuación por \(27u^3\) y obtenemos ¡una ecuación de grado seis!

$$27u^6-p^3+27qu^3=0$$
$$27u^6+27qu^3-p^3=0$$

Pero no hay que asustarse —si habéis llegado hasta aquí, solo tenéis que temer a Jeff Dean—: es una ecuación reducible a otra de segundo grado. Ahora hacemos otro cambio de variable \(y=u^3\) y obtenemos

$$27y^2+27qy-p^3=0$$

Cuyas soluciones son

$$y = \frac{-27q\pm\sqrt{(27q)^2-4\cdot27(-p^3)}}{2\cdot27}=\frac{-27q}{2\cdot27}\pm\frac{\sqrt{(27q)^2+4\cdot27p^3}}{\sqrt{2^2\cdot27^2}}$$

$$y =\frac{-q}{2}\pm\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}$$

Con lo que (tomando solamente la raíz positiva: si tomamos la negativa se llega a las mismas soluciones)

$$u=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}$$

y, puesto que \(v^3=-q-u^3\)

$$v=\sqrt[3]{-q+\frac{q}{2}-\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}$$

De donde

$$z=u+v=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}$$

y, finalmente,

$$x=z-\frac{a}{3}=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}+\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\Big(\frac{q}{2}\Big)^2+\Big(\frac{p}{3}\Big)^3}}-\frac{a}{3}$$

Con esta solución, llamémosla \(x_0\), ya podemos factorizar el polinomio dividiéndolo entre \(x-x_0\) sin tener que "adivinar".

Ejemplo

Veamos un ejemplo muy sencillo: \(x^3+3x^2+12x-16=0\)

Hacemos el cambio de variable \(x=z-1\) (porque \(a=3\)) y nos queda

$$(z-1)^3+3(z-1)^2+12(z-1)-16=0$$
$$z^3-3z^2+3z-1+3z^2-6z+3+12z-12-16=0$$
$$z^3+9z-26=0$$

Con lo que \(p=9\) y \(q=-26\), de donde

$$x=\sqrt[3]{\frac{26}{2}+\sqrt{\Big(\frac{-26}{2}\Big)^2+\Big(\frac{9}{3}\Big)^3}}+\sqrt[3]{\frac{26}{2}-\sqrt{\Big(\frac{-26}{2}\Big)^2+\Big(\frac{9}{3}\Big)^3}}-\frac{3}{3}$$
$$x=\sqrt[3]{13+\sqrt{169+27}}+\sqrt[3]{13-\sqrt{169+27}}-1$$
$$x=\sqrt[3]{13+\sqrt{196}}+\sqrt[3]{13-\sqrt{196}}=\sqrt[3]{13+14}+\sqrt[3]{13-14}-1$$
$$x=\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{-1}-1=3-1-1=1$$

Ahora, factorizamos el polinomio dividiéndolo entre \(x-1\)

$$x^3+3x^2+12x-16=(x-1)(x^2+4x+16)=0$$

O bien \(x-1=0\), que lleva a la solución ya obtenida \(x=1\); o bien

$$x^2+4x+16=0$$

que, haciendo uso de la "fórmula" de la ecuación de segundo grado,  nos lleva a las otras dos soluciones

$$x=\frac{-4\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot16}}{2\cdot1}=\frac{-4\pm\sqrt{16-64}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-48}}{2}$$
$$x=\frac{-4\pm4\sqrt{-3}}{2}=-2\pm2i\sqrt{3}$$

Bibliografía

• Ricardo Moreno Castillo. Una historia de las matemáticas para jóvenes. Historia de las ecuaciones. Nivola: colección violeta 24, Madrid 2010.
• Ecuación cúbica

Conclusión

Como decíamos más arriba, este ejemplo es uno de los más sencillos de resolver; en general, la resolución de la ecuación cúbica mediante este método no es una perita en dulce (probad, por ejemplo,  con \(x^3-6x^2+3x+10=0\)). Teniendo herramientas como maxima o fricas, resolver la ecuación cúbica a mano sólo tiene sentido desde un punto de vista didáctico.

En otra entrada hablaremos de la ecuación cuártica; mientras tanto, ¡seguid dudando!