La ecuación cuártica

Visto que la entrada sobre la ecuación cúbica es una de las menos visitadas del blog, me propongo hoy batir ese récord. Y qué mejor que escribir otra árida entrada sobre álgebra...

Como ya dijimos —aunque, de hecho, ya lo sabíamos—, no existe una "fórmula" para resolver de forma analítica una ecuación cualquiera de grado igual o mayor que cinco. Puesto que ya encontramos la forma de resolver las ecuaciones cúbicas, hoy pretendemos resolver las cuárticas.

Sea una ecuación de cuarto grado
$$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$$

hacemos un cambio de variable \(x=z-\frac{a}{4}\)

$$\Big(z-\frac{a}{4}\Big)^4+a\Big(z-\frac{a}{4}\Big)^3+b\Big(z-\frac{a}{4}\Big)^2+c\Big(z-\frac{a}{4}\Big)+d=0$$
\begin{eqnarray}
z^4 & - & 4z^3\frac{a}{4}+6z^2\Big(\frac{a}{4}\Big)^2 - 4z\Big(\frac{a}{4}\Big)^3+\Big(\frac{a}{4}\Big)^4 \\
& + & a\Big(z^3-3z^2\frac{a}{4}+3z\Big(\frac{a}{4}\Big)^2 - \Big(\frac{a}{4}\Big)^3\Big) \\
& + & b\Big(z^2-2z\frac{a}{4}+1\Big)+c(z-\frac{a}{4})+d=0
\end{eqnarray}
$$z^4+\Big(\frac{3a^2}{8}-\frac{3a}{4}+b\Big)z^2+\Big(\frac{a^3}{8}-\frac{b}{2}+c\Big)z+b+d-\frac{ca}{4}-\frac{3a^4}{256}=0$$

Esta ecuación se puede escribir

$$z^4+pz^2+qz+r=0$$

Por otra parte, podemos factorizar el polinomio

$$z^4+pz^2+qz+r=(z^2+\alpha z + \beta)(z^2+\gamma z+ \delta)$$

Una vez factorizado, resolver la ecuación cuártica se reduce a resolver dos ecuaciones cuadráticas. Solamente hay que calcular dichos coeficientes.

Desarrollando el producto de la derecha e igualando coeficientes se llega a

$$
0 = \alpha + \gamma \\ \\
p = \delta + \beta + \alpha \gamma \\ \\
q = \alpha \delta + \beta \gamma \\ \\
r = \beta \delta
$$

Despejamos \(\gamma\) en la primera ecuación y sustituimos en la segunda y en la tercera, que quedan

$$p= \delta + \beta + \alpha (-\alpha) \rightarrow p + \alpha^2 = \delta + \beta$$
$$q=\alpha \delta - \beta \alpha \rightarrow \frac{q}{\alpha}=\delta - \beta$$

Elevamos al cuadrado ambos miembros de cada ecuación

$$(p + \alpha^2)^2 = (\delta + \beta)^2$$
$$\Big(\frac{q}{\alpha}\Big)^2 = (\delta - \beta)^2$$

Restamos ahora ambas ecuaciones y obtenemos

$$(p+\alpha^2)^2 - \Big( \frac{q}{\alpha}\Big)^2 = (\delta + \beta)^2 - (\delta - \beta)^2$$
$$(p+\alpha^2)^2 - \Big( \frac{q}{\alpha}\Big)^2 = 4\delta \beta$$

que, usando la cuarta ecuación, queda

$$(p+\alpha^2)^2 -\Big( \frac{q}{\alpha}\Big)^2 = 4r$$

Desarrollamos el binomio

$$\alpha^4+2p\alpha^2+p^4 - \frac{q^2}{\alpha^2} = 4r$$

multiplicamos por \(\alpha^2\) y agrupamos términos

$$\alpha^6+2p\alpha^4 +p^2\alpha^2- q^2 = 4r\alpha^2$$
$$\alpha^6+2p\alpha^4+p^2\alpha^2-4r\alpha^2-q^2=0$$
$$\alpha^6+2p\alpha^4+(p^2-4r)\alpha^2-q^2=0$$

Hacemos el cambio \(\alpha^2=y\) y obtenemos una ecuación cúbica (la ecuación resolvente)
$$y^3+2py^2+(p^2-4r)y-q^2=0$$

Supongamos que una de las soluciones de esta ecuación es \(S^2\), entonces \(\alpha=S\), de manera que

$$\gamma = -S$$

y, por lo tanto,

$$p = \delta + \beta - S^2$$
$$q = \delta S - \beta S $$
$$r = \beta \delta $$

Despejando \(\delta\) en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda llegamos a

$$2\beta = p + S^2 - \frac{q}{S}$$

Multiplicando la segunda por 2 y sustituyendo obtenemos

$$2\delta = p + S^2 +\frac{q}{S}$$

De modo que lo coeficientes que necesitábamos son

$$
\alpha = S \\ \\
\beta = \frac{p+S^2-\frac{q}{S}}{2} \\ \\
\gamma = -S \\ \\
\delta = \frac{p+S^2+\frac{q}{S}}{2}
$$

Por lo tanto, las soluciones de las dos ecuaciones cuadráticas son

$$z = \frac{-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-4\beta}}{2} = \frac{-S\pm\sqrt{S^2-2\Big(p+S^2-\frac{q}{S}\Big)}}{2} =\frac{-S\pm\sqrt{-S^2-2p+\frac{2q}{S}}}{2}$$

$$z = \frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-4\delta}}{2} = \frac{S\pm\sqrt{S^2-2\Big(p+S^2+\frac{q}{S}\Big)}}{2} = \frac{S\pm\sqrt{-S^2-2p-\frac{2q}{S}}}{2}$$

Y, finalmente,

$$x = \frac{-S\pm\sqrt{-S^2-2p+\frac{2q}{S}}}{2} - \frac{a}{4}$$
$$x = \frac{S\pm\sqrt{-S^2-2p-\frac{2q}{S}}}{2} - \frac{a}{4}$$

Como cabía suponer, resolver la ecuación cuártica es largo y tedioso. Además, exige resolver una ecuación cúbica, que tampoco es moco de pavo. Por eso se enseña a resolverlas, con finalidades didácticas, con la regla de Ruffini. Eso cuando hay soluciones enteras; cuando no las hay, se usan métodos numéricos.

Bibliografia

• Elemens: la ecuación cuártica
• Wikipedia en italiano: equazione di quarto grado