Como ya dijimos —aunque, de hecho, ya lo sabíamos—, no existe una "fórmula" para resolver de forma analítica una ecuación cualquiera de grado igual o mayor que cinco. Puesto que ya encontramos la forma de resolver las ecuaciones cúbicas, hoy pretendemos resolver las cuárticas.
Sea una ecuación de cuarto grado
x4+ax3+bx2+cx+d=0
hacemos un cambio de variable x=z−a4
(z−a4)4+a(z−a4)3+b(z−a4)2+c(z−a4)+d=0
z4−4z3a4+6z2(a4)2−4z(a4)3+(a4)4+a(z3−3z2a4+3z(a4)2−(a4)3)+b(z2−2za4+1)+c(z−a4)+d=0
z4+(3a28−3a4+b)z2+(a38−b2+c)z+b+d−ca4−3a4256=0
Esta ecuación se puede escribir
z4+pz2+qz+r=0
Por otra parte, podemos factorizar el polinomio
z4+pz2+qz+r=(z2+αz+β)(z2+γz+δ)
Una vez factorizado, resolver la ecuación cuártica se reduce a resolver dos ecuaciones cuadráticas. Solamente hay que calcular dichos coeficientes.
Desarrollando el producto de la derecha e igualando coeficientes se llega a
0=α+γp=δ+β+αγq=αδ+βγr=βδ
Despejamos γ en la primera ecuación y sustituimos en la segunda y en la tercera, que quedan
p=δ+β+α(−α)→p+α2=δ+β
q=αδ−βα→qα=δ−β
Elevamos al cuadrado ambos miembros de cada ecuación
(p+α2)2=(δ+β)2
(qα)2=(δ−β)2
Restamos ahora ambas ecuaciones y obtenemos
(p+α2)2−(qα)2=(δ+β)2−(δ−β)2
(p+α2)2−(qα)2=4δβ
que, usando la cuarta ecuación, queda
(p+α2)2−(qα)2=4r
Desarrollamos el binomio
α4+2pα2+p4−q2α2=4r
multiplicamos por α2 y agrupamos términos
α6+2pα4+p2α2−q2=4rα2
α6+2pα4+p2α2−4rα2−q2=0
α6+2pα4+(p2−4r)α2−q2=0
Hacemos el cambio α2=y y obtenemos una ecuación cúbica (la ecuación resolvente)
y3+2py2+(p2−4r)y−q2=0
Supongamos que una de las soluciones de esta ecuación es S2, entonces α=S, de manera que
γ=−S
y, por lo tanto,
p=δ+β−S2
q=δS−βS
r=βδ
Despejando δ en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda llegamos a
2β=p+S2−qS
Multiplicando la segunda por 2 y sustituyendo obtenemos
2δ=p+S2+qS
De modo que lo coeficientes que necesitábamos son
α=Sβ=p+S2−qS2γ=−Sδ=p+S2+qS2
Por lo tanto, las soluciones de las dos ecuaciones cuadráticas son
z=−α±√α2−4β2=−S±√S2−2(p+S2−qS)2=−S±√−S2−2p+2qS2
z=−γ±√γ2−4δ2=S±√S2−2(p+S2+qS)2=S±√−S2−2p−2qS2
Y, finalmente,
x=−S±√−S2−2p+2qS2−a4
x=S±√−S2−2p−2qS2−a4
Como cabía suponer, resolver la ecuación cuártica es largo y tedioso. Además, exige resolver una ecuación cúbica, que tampoco es moco de pavo. Por eso se enseña a resolverlas, con finalidades didácticas, con la regla de Ruffini. Eso cuando hay soluciones enteras; cuando no las hay, se usan métodos numéricos.
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