Media armónica
NOTA: La RAE admite tanto armónico como harmónico (aunque prefiere la primera). En alemán, catalán, francés, inglés... se escribe con h inicial puesto que procede del latín harmonicus y, este, del griego ἁρμονικός.Volviendo al ejemplo de las notas de la entrada anterior, si el profesor decidiese usar la media armónica, en vez de la media aritmética, para calcular la nota global, haría
$$n_g = \frac{3}{\frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} ~= 5{,}79 $$
Lo cual aún haría menos feliz al alumno en cuestión.
Definición
La media armónica se define
$$ H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}} $$
o, más elegantemente,
$$ H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} $$
Nótese que la media armónica es el inverso de la media aritmética de los inversos de los valores en cuestión —no es un trabalenguas, de verdad—. El nombre tiene que ver con la música.
Uso
La media armónica se usa, por ejemplo, para promediar velocidades cuando se recorren distancias iguales o cuando se promedia el rendimiento para cantidades iguales de trabajo.
Veamos un ejemplo. Imaginemos que un taxista viaja de Alzira a Bolulla a una velocidad constante de 120 km/h (ambos municipios están separados por una distancia de 120 km —puesto que Google Maps se empeña en que son 118, daremos alguna vuelta extra en las rotondas—). La Guardia Civil le pone una multa por exceso de velocidad y a la vuelta, escarmentado, hace el viaje a 80 km/h. ¿Cuál ha sido la velocidad promedio del taxista en este viaje?
Uno diría que 100 km/h, ya que $$ \bar{x} = \frac{120+80}{2} = 100$$ Pero se equivocaría. Comprobémoslo:
A la ida viaja a 120km/h: tardará una hora; a la vuelta, a 80km/h, tardará \(1{,}5\)h. En total son 240km en dos horas y media.
$$ 240/2{,}5 = 96\text{km/h} $$
En cambio, si usamos la media armónica, el resultado es el correcto
$$ H = \frac{2}{\frac{1}{120}+\frac{1}{80}} = 96\text{km/h} $$
Es interesante observar que, usando la media armónica, no hace falta saber (ni suponer) la distancia entre ambas ciudades: sólo es necesario que las distancias sean iguales para todos los casos, claro.
Aunque no presenta las complicaciones que tiene la media geométrica con los valores negativos, no está definida si alguno de los valores es nulo.
Media cuadrática
Volviendo a las notas, otra posibilidad para el profesor sería calcular la media cuadrática. Para ello haría
$$ Q = \sqrt{\frac{4^2+7^2+8^2}{3}} ~= 6{,}55 $$
En este caso, los alumnos estarían algo más contentos.
Definición
La media cuadrática de \(n\) valores \({x_1, x_2, ..., x_n}\) se calcula
$$ Q = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + ... +x_n^2}{n}} $$
o, escrito en versión abreviada,
$$ Q = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}}$$
Es decir, la media cuadrática es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los datos considerados —tampoco es un trabalenguas, lo juro—.
o, escrito en versión abreviada,
$$ Q = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}}$$
Es decir, la media cuadrática es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los datos considerados —tampoco es un trabalenguas, lo juro—.
Usos
Se usa en cálculo de errores, en termodinámica, en química, en sismologia, en psicologia...
En particular, la desviación típica de los datos de un conjunto de datos es la media cuadrática de las distancias respectivas de los datos a su media aritmética.
En particular, la desviación típica de los datos de un conjunto de datos es la media cuadrática de las distancias respectivas de los datos a su media aritmética.
Desviación típica
Si tenemos un conjunto de \(n\) datos \({x_1, x_2, ..., x_n}\) cuya media aritmética es \(\bar{x}\), entonces la desviación típica es
$$ s = \sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2 + (x_2-\bar{x})^2 + ... + (x_n-\bar{x})^2}{n}} $$
que se puede escribir
$$ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}} $$
En el caso de las notas de nuestro ya casi amigo, la desviación típica es $$ s = \sqrt{\frac{(4-6{,}33) ^2+(7-6{,}33)^2+(8-6{,}33)^2}{3}} = 2{,}94 $$ que nos indica que si bien la media le "sale aprobada", los datos son bastante dispersos. Cuanto mayor sea la desviación típica, mayor será la dispersión de los datos; de hecho, si las tres notas fuesen iguales, la desviación típica sería nula.
que se puede escribir
$$ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n}} $$
En el caso de las notas de nuestro ya casi amigo, la desviación típica es $$ s = \sqrt{\frac{(4-6{,}33) ^2+(7-6{,}33)^2+(8-6{,}33)^2}{3}} = 2{,}94 $$ que nos indica que si bien la media le "sale aprobada", los datos son bastante dispersos. Cuanto mayor sea la desviación típica, mayor será la dispersión de los datos; de hecho, si las tres notas fuesen iguales, la desviación típica sería nula.
Media potencial
Todo el mundo conoce la proverbial afición de los matemáticos —de los científicos en general— a buscar generalizaciones. Pues este caso no es una excepción: se define la media potencial de grado \(p\) como
$$ P = \Big( \frac{x_1^p + x_2^p + ... + x_n^p}{n}\Big)^{1/p} $$
Si \(p=1\) esta expresión da la media aritmética; si \(p=2\), da la media cuadrática; si \(p=-1\), la media armónica y, aunque no lo parezca a primera vista, si \(p=0\), la media geométrica.
[AVISO: Si no conoces la regla de l'Hôpital (o si la conoces y te produce reacciones alérgicas) salta hasta la conclusión.]
Demostrémoslo (fuente). Cuando \(p\) tiende a cero
$$ \lim_{p \rightarrow 0}\Big(\frac{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p}{n}\Big)^{1/p} = \text{indeterminación del tipo} 1^{\infty}$$
Así, pues, dicho límite, si existe será de la forma \(e^z\) donde $$z = \lim_{p \rightarrow 0}\frac{1}{p}\ln(x_1^p+x_2^p+...+x_n^p) = \lim_{p->0}\frac{\ln(x_1^p+x_2^p+...+x_n^p)}{p} $$
límite que también es inderterminado, pero de tipo \(\frac{\infty}{\infty}\). Aplicando la regla de l'Hôpital, tenemos que
$$ z = \lim_{p \rightarrow 0}\frac{x_1^p\cdot \ln{x_1} + x_2^p\cdot \ln{x_2} + ... + x_n^p\cdot \ln{x_n}}{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p} $$
NOTA: Hay que destacar que para aplicar la regla de l'Hôpital, derivamos respecto de \(p\) no respecto de \(x\), es decir \(\frac{dx^p}{dp} = x^p \cdot \ln{x} \)
Cuando \(p \rightarrow 0\) cada \(x_i^p \rightarrow 1\), así que $$ z = \frac{\ln{x_1}+\ln{x_2}+...+\ln{x_n}}{n} $$ De donde, aplicando las propiedades de los logaritmos, obtenemos $$ z = \ln(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{\frac{1}{n}} $$
Así, el límite de la media potencial cuando \(p \rightarrow 0\) és
$$ \lim_{p \rightarrow 0}\Big(\frac{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p}{n}\Big)^{1/p} = e^{\ln(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{\frac{1}{n}}} = (x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}$$
¡La media geométrica!
NOTA: Hay que destacar que para aplicar la regla de l'Hôpital, derivamos respecto de \(p\) no respecto de \(x\), es decir \(\frac{dx^p}{dp} = x^p \cdot \ln{x} \)
Cuando \(p \rightarrow 0\) cada \(x_i^p \rightarrow 1\), así que $$ z = \frac{\ln{x_1}+\ln{x_2}+...+\ln{x_n}}{n} $$ De donde, aplicando las propiedades de los logaritmos, obtenemos $$ z = \ln(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{\frac{1}{n}} $$
Así, el límite de la media potencial cuando \(p \rightarrow 0\) és
$$ \lim_{p \rightarrow 0}\Big(\frac{x_1^p+x_2^p+...+x_n^p}{n}\Big)^{1/p} = e^{\ln(x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{\frac{1}{n}}} = (x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}$$
¡La media geométrica!
Conclusión
Las cuatro medias que hemos visto son casos particulares de la media potencial (también conocida como media generalizada). Gracias a esta generalización, ahora podemos "jugar" con la media potencial y hablar de la media cúbica, etc.
En la próxima entrada veremos que las cuatro medias están ordenadas —pero no el sentido de orden que tiene mi madre—; mientras tanto ¡seguid dudando!
En la próxima entrada veremos que las cuatro medias están ordenadas —pero no el sentido de orden que tiene mi madre—; mientras tanto ¡seguid dudando!
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