La Música de las Matemáticas

Dicen que la música es el "ritmo de alma", que una melodía puede hacerte recordar o sentir vibraciones que tu mente había olvidado, que el corazón late al compás de la partitura. Una pieza musical no es sólo un agrupado de notas que emanan de los instrumentos creando armonía, es sentimiento, recuerdo, pero sobre todo, es Matemáticas. 

El hecho de que Mozart, Vivaldi, Beethoven y otros maestros consiguieran escoger las mejores o más bellas frases musicales haciendo que las notas no sonasen de forma aleatoria, sino que lo hiciesen como en una forma con sentido, ha llevado a la búsqueda de una base científica. La relación posiblemente emane del órgano que crea ambas, el cerebro, ya que los humanos utilizamos el hemisferio cerebral izquierdo para tareas verbales y analíticas, mientras que el derecho para tareas espaciales y musicales. Es decir, el primero se encargará del análisis y la fragmentación y el segundo de la síntesis y la unidad, resultando a nuestros oídos una armonía musical y a nuestros ojos un modelo matemático.

¿Esto es sólo teoría o podemos exponer casos concretos de Música y Modelos Matemáticos?

1. La Naturaleza de los Sonidos Musicales

Si nos remontamos a la época Pitagórica, el concepto de matemáticas, englobaba lo que se conoce como el Quatrivium, es decir, que la astronomía, la música, aritmética y geometría constituían la base del saber exacto. Pitágoras haciendo uso de sus conocimientos sobre las medias y los números naturales estableció que cuerdas musicales con longitudes de razones 1:2, 2:3 y 3:4 proporcionaban sonidos armónicos y agradables.

2. Juego de Dados de Mozart

Mozart a sus 21 años escribió un Juego de Dados Musical para escribir un vals con la ayuda de dos dados sin ser músico y sin saber nada de composición. Para ello escribió 176 compases y los puso en dos tablas de 88 elementos cada una. Para la composición de la pieza musical tan sólo había que lanzar los dos dados de tal manera que con la ayuda de las tablas se podían llegar a componer la friolera de 11¹⁴ vals diferentes.

3. Cadenas de Markov

Las Cadenas de Markov son empleadas en el mundo de la música tanto en algoritmos de composición como en software musical. Un ejemplo son las cadenas de primer orden, donde los estados del sistema convertidos en valores de notas o tonos poseerán un vector de probabilidad asociado a cada estado, completando la matriz de transición de probabilidad. El algoritmo se realizaría para producir una salida con valores de notas basadas en dichas matrices, que pueden contener valores de notas en MIDI, valores de frecuencia o cualquier otra métrica.

4. Media Estética de Birkhoff

En 1924 Birkhoff desarrolla la idea de que la melodía depende del orden de las notas escuchadas. De tal modo que estableció unas relaciones de orden de la notas para poder escoger las mejores melodías. para ello establece que la estética debe basarse en: un fuerzo de atención o complejidad (C), una sensación placentera o media estética (M) y una simetría u orden (O). Así la estética de una melodía estaría en la aplicación de la fórmula M= O/C.

5.  Ptolomeo y sus Harmónicos

Con su tratado de música llamado Los Harmónicos, Ptolomeo explica que las leyes matemáticas subyacen tanto en sistemas musicales como en cuerpos celestes, así como ciertas notas musicales también corresponden a planetas específicos, a la distancia entre ellos y a sus movimientos.

6. Fibonacci y el Número Áureo

Algunos autores han utilizado como elementos de sus composiciones, tales como una escala musical, basándose en la sucesión de Fibonacci. Beethoven por ejemplo, muestra como en la quinta sinfonía el tema principal incluido está separado por un número de compases que pertenece a esta sucesión o las sonatas para piano de Mozart, donde la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es lo mas cercana posible a la razón áurea. La relación o proporción áurea, considerada como el secreto que se oculta detrás de un balance atractivo, bello, y armónico a la vista, se incorpora así, también al oído.

7. Descartes y su Compendio de Música 

La primera obra de Descartes, el Compendio de Música fue escrita por el matemático para describir y explicar las proporciones matemáticas de las vibraciones armónicas de las cuerdas musicales, además de hacer un breve repaso de las pasiones generadas en el alma por el sonido armónico de la música.

8. Juan Sebastián Bach y su Clave Bien Temperado

Con el objetivo de demostrar que las afinidades musicales iguales son creadas por las posibilidades de modulación matemáticas, Bach compuso su obra "El Clave Bien Temperado" que consistía en 24 piezas en las doce tonalidades musicales y basándose en la modulación teórica.

9. Fractales

Las formas fractales fueron generadas al usar una simple fórmula repetitiva y un motivo. Autores como Bach, Beethoven o Mozart, anteriores al concepto de fractal, utilizaron la analogía entre la geometría fractal y la disposición de las notas en una obra para dotar sus melodías de ese orden o motivo. Estos genios desarrollaron su fórmula sin la ayuda de la teoría, adelantándose al conocimiento de las formas fractales y haciendo uso del mismo sin un desarrollo previo. Si hablamos de un ejemplo concreto, el Scherzo de Beethoven construido sobre un compás de 3 tiempos, tiene un motivo claramente identificable: 2 corcheas y una negra, como acorde desplegado en forma descendente. El principal motivo consiste en 2/8 (dos corcheas) agregadas en conjunto en 1/4 (una negra) como acorde. Este motivo ternario (porque está compuesto por 2 corcheas y una negra(2+1=3)), es repetido en todas las partes del Scherzo. 

10. Joseph Schillinger y la Geometría

Schillinger basándose en la geometría y en las relaciones de fase de movimientos periódicos simples desarrollo un sistema de composición musical fundamentado en técnicas de algorítmicas de composición y series numéricas autosemejantes.

 11. Música e Inteligencia artificial

El universo de melodías posibles es un enorme espacio en el cual se aplican Algoritmos Genéticos como técnica de búsqueda y selección. Para ello, se codifica el lenguaje musical como si de un genoma matemático se tratase representando algunas de las características y estructuras. El tiempo, el tono, el ritmo la duración de la nota o la armonía definen la complejidad y la composición en si misma, de tal forma que las nuevas obras se consiguen por copia parcial de las ya existentes. La selección definitiva, como si de una selección natural se tratase, determinará el número de melodías supervivientes y por ende, el resultado final del sónido armónico.

12. Las Leyes de Mersenne

Las leyes de Mersenne tuvieron su extensión máxima en la utilización de la escala cromática para la resolución de problemas de afinación y tonalidad de la música sn la necesidad de cambiar la afinación de los instrumentos.

13. Arnold Schöenberg y el Dodecafonismo

Podemos decir que el Dodecafonismo supuso una influencia en el siglo XX que se fundamentó en nuevas técnicas de composición y en fundamentos teóricos basados en la atonalidad y que permitía la continuación de los valores musicales de la época.

14. Música y Gramáticas

Gracias a las aportaciones basadas en la lógica de Shannon, y a las teorías se basan en gramáticas formales y autómatas de Chomsky surgieron investigaciones con la idea de encontrar una gramática aplicable a la música, que con unos símbolos pertenecientes a un alfabeto y unas reglas que los regulen, pueda realizar composiciones musicales. Sin embargo en este campo los resultados no están siendo del todo alentadores ya que los problemas de relacionar la música con la gramática son varios, entre ellos que es difícil encontrar paralelismo y simultaneidad en el lenguaje, por ejemplo de varias sentencias; conceptos que en música son fundamentales, al acoplar muchas variables como el tono, el tiempo, la intensidad, el timbre, etc.

15. La Vibración Fundamental de Taylor

Mediante una ecuación supuesta curva para la forma de una cuerda musical, Taylor dio una solución formal a cada uno de los puntos que alcanzaría la posición en reposo en un mismo punto. Es decir, explicaba la manera de vibrar de las cuerdas mediante un tratamiento matemático basando en que una vibración fundamental es siempre proporcional a la distancia a la posición de equilibrio.

16. Iannis Xenakis y su Metástasis

Con su obra Metástasis, Iannis Xenakis compuso una pieza basada en el desplazamiento continuo de una línea recta o lo que en términos musicales se denomina un glissando continuo. Musicalizando  las leyes estocásticas con una contracción y expansión del registro y la densidad del movimiento continuo matemático, Xenakis compone una obra muy agradable para nuestro oídos.

17. Música por Ordenador

Los ordenadores nos permitirán penetrar mejor en la estructura musical, recibiendo las ordenes del autor y en base a la calidad de un programa informático. El promotor de la idea fue Pierre Barbaud quien optó por dejar la estética en un segundo plano y apostar porque las matemáticas produjeran nuevas formas musicales, concediendo gran importancia al proceso de creación y considerando este arte como algo algebraico. También Iannis Xenakis ha estudiado la evolución del espacio y tiempo sonoro de las obras musicales a través de cálculo de probabilidades. Esto dio lugar al nacimiento de una influencia en escuelas japonesas y polacas que se basa en el uso del azar, la lógica, probabilidad, y la teoría de conjuntos para llegar al oyente. 

Esto no es más que otro ejemplo de la curiosidad y la inquietud del ser humano por intentar demostrar científicamente todo aquello que le rodea. Sin embargo, hoy en día sigue habiendo muchas preguntas sin resolver: ¿Por qué nos gusta o nos conmueve la música? ¿Existe alguna explicación para que una melodía nos produzca bienestar al entrar en contacto con nuestro sentido de la audición? ¿Encontraremos algún día una base científica que lo explique?

Para mí la relación más importante entre la Matemática y la Música es, que ambas poseen características similares, donde las Matemáticas se encargan de proveer de una base científica a la Musicología que hace que esta última pueda considerarse una sinfonía llena de poesía, armonía y estética. 

Nos vemos en la próxima entrada, hasta entonces... ¡¡¡¡¡ DISFRUTEN DE LA CIENCIA!!!!!