Los números primos: disposiciones "geométricas"

Una de las áreas de la matemática más reconocida por el público en general es la teoría de números y, en particular, el estudio de los números primos.

Decimos que un número natural, mayor que uno, es primo si solamente es divisible entre él mismo y la unidad. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13, por ejemplo, son primos; mientras que 4, 6, 8, 9, 10 y 12 son compuestos (tienen, al menos, tres divisores distintos).

Los números primos, pese a los enormes esfuerzos realizados por los científicos de todas las épocas, guardan, tras su inocente apariencia, importantes desafíos para las mentes más brillantes. Hoy, sin embargo, nos limitaremos a constatar que simplemente variando la disposición de los números primos en el papel varía la información que se transmite.

La criba de Eratóstenes

A Erastóstenes,  nacido en el siglo III aC, se debe el más famoso procedimiento de obtención de números primos: la criba de Eratóstenes. Este procedimiento consiste en tachar todos los múltiplos de 2 (sin contar con este), todos los de 3 (también sin incluirlo), e ir tachando los múltiplos de cualquier número no tachado anteriormente.

Imagen tomada de http://www.wikipedia.org

Esta criba se suele representar así

Esta disposición de los números primos, aunque coherente con nuestro sistema de numeración decimal, no parece aportar demasiada información: hay primos en todas las columnas impares. Si empleamos un número distinto de columnas, por contra, se observan ciertas regularidades, ciertos patrones...

Seis columnas

Por ejemplo, si disponemos los números en seis columnas

nos damos cuenta de que todos los números primos son de la forma \(6n-1\) o \(6n+1\) (¡lo cual no quiere decir que todos los números de la forma \(6n\pm1\) sean primos!). 

Es fácil de ver que todos los números de las columnas primera, tercera y quinta son pares y, por lo tanto, compuestos (a excepción del 2, claro). Los de la segunda columna son también compuestos (múltiplos de 3): \(6n+3=3(2n+1)\).

Una variante muy vistosa es la disposición de estas seis columnas sobre la superficie de un cilindro (requiere Geogebra).

Trenta columnas

Si, en cambio, los colocamos en 30 columnas

"aparecen" las tres clases de primos gemelos (escritos sobre fondo amarillo): aquellos que acaban en (7, 9), (9, 1) y (1, 3).

Además, vemos también los cuasi-gemelos (los que están en una columna de los gemelos sin serlo) y los primos solitarios (los que aparecen en las columnas N y 7).

Otras representaciones

Por supuesto estas no son las únicas representaciones interesantes; hay muchas y variadas, aunque menos sencillas: la espiral de Ulam, la espiral de Sacks...

Conclusión

Un mero cambio de disposición puede abrir una línea de trabajo nueva o descubrir una propiedad que permanecía "oculta": hay que atreverse a recorrer caminos no trillados.

Para la próxima entrada prometo volver al camino áspero de mis contribuciones anteriores, no quiero que nadie se malacostumbre ;-). Mientras, ¡seguid dudando!