Las medias (y IV)

La media cuadrática es mayor o igual que la aritmética

Volviendo a la circunferencia de diámetro \(a+b\) construida en la entrada anterior, el segmento \(OC'\) mide \(\frac{a-b}{2}\)

ya que el radio es \(\frac{a+b}{2}\)  y, puesto que el segmento \(BC'\) mide \(b\), $$\lvert\overline{AC'}\rvert=\frac{a+b}{2}-b = \frac{a+b}{2}-\frac{2b}{2}=\frac{a-b}{2}$$

Las medias (III)

Visto que hay diversas medias, y que dan resultados distintos para un mismo conjunto de datos, seguro que algún estudiante habrá pensado "¿Sacaría mejores notas si el profesor usara otra media?¿Depende de los datos?"

Se puede demostrar por inducción que la media aritmética es siempre mayor o igual que la media geométrica; pero para no perder aún más lectores, aquí lo haremos de una manera más "simpática" (limitándonos, eso sí, a un conjunto de dos números).

Sean \(a\) y \(b\) dos números cualesquiera. Construimos un segmento de longitud \(a + b\) y lo usamos como diámetro de una circunferencia.

Sean \(A\) y \(B\) los puntos en los que dicho segmento corta a la circunferencia.

Las medias (II)

Media armónica

NOTA: La RAE admite tanto armónico como harmónico (aunque prefiere la primera). En alemán, catalán, francés, inglés... se escribe con h inicial puesto que procede del latín harmonicus y, este, del griego ἁρμονικός.

Volviendo al ejemplo de las notas de la entrada anterior, si el profesor decidiese usar la media armónica, en vez de la media aritmética, para calcular la nota global, haría

$$n_g = \frac{3}{\frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} ~= 5{,}79 $$

Lo cual aún haría menos feliz al alumno en cuestión.

Definición

La media armónica se define

$$ H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}} $$

o, más elegantemente,

$$ H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} $$

Nótese que la media armónica es el inverso de la media aritmética de los inversos de los valores en cuestión —no es un trabalenguas, de verdad—. El nombre tiene que ver con la música.

Uso

La media armónica se usa, por ejemplo, para promediar velocidades cuando se recorren distancias iguales o cuando se promedia el rendimiento para cantidades iguales de trabajo.

Las medias (I)

Cualquier estudiante de secundaria conoce unos cuantos parámetros estadísticos; al menos "los de la m": la moda, la mediana y la media. Sin embargo, como veremos, no es correcto hablar de la media. ¡Empecemos!

La media aritmética

Probablamente el parámetro estadístico más conocido es la media aritmética. A esto contribuye, sin duda, que se use habitualmente como sistema para calcular la calificación de los estudiantes. Así, por ejemplo, si un alumno ha obtenido las calificaciones 4, 7 y 8 en sendos exámenes de álgebra, el profesor puede calcular su nota global sumando las tres notas y dividiendo entre 3:

$$n_g = \frac{4+7+8}{3} ~= 6{,}33$$

Definición

En general, si tenemos \(n\) números \(\{x_1, x_2, ... , x_n\}\), la media aritmética de dichos números se calcula

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$

expresión que a los profesores les gusta escribir así

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$$

Uso

Se puede encontrar en prácticamente todas las disciplinas. Hablamos del sueldo medio, de la media de goles por partido de tal o cual jugador, de la edad media de inicio en el consumo de alcohol...

El uso de este parámetro está tan extendido que a menudo decimos simplemente 'media' para referirnos a la 'media aritmética'. Sin embargo, existen otras medias como la media geométrica, la media armónica o la media cuadrática.