Tanteo de soluciones irracionales de una ecuación de grado superior a dos

Si la división ya no es la operación más estimada por los estudiantes, no digo nada de la división de polinomios. Afortunadamente, para divisores del tipo \(x-a\) tenemos la regla de Ruffini. ¿Nunca os habéis preguntado si existía un método similar para divisores de grado superior a uno?

Algoritmo de Horner

El método o algoritmo de Horner permite realizar la división sintética con cualquier divisor (\(a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n\)); a diferencia de la regla de Ruffini que aprendimos en secundaria, que solamente se puede usar para divisores del tipo \(x\pm a\).

La ecuación cuártica

Visto que la entrada sobre la ecuación cúbica es una de las menos visitadas del blog, me propongo hoy batir ese récord. Y qué mejor que escribir otra árida entrada sobre álgebra...

Como ya dijimos —aunque, de hecho, ya lo sabíamos—, no existe una "fórmula" para resolver de forma analítica una ecuación cualquiera de grado igual o mayor que cinco. Puesto que ya encontramos la forma de resolver las ecuaciones cúbicas, hoy pretendemos resolver las cuárticas.

La ecuación cúbica

Desde hace un par de siglos se sabe que no existe una "fórmula" que resuelva de forma general las ecuaciones de grado mayor o igual que cinco (al estilo de la famosa "fórmula" de la ecuación de segundo grado).

Esto no quiere decir que no tengan solución; de hecho, cualquier ecuación polinómica de grado n tiene n soluciones. Es más, existen soluciones analíticas en algunos casos particulares; pero no una solución general.

Esto significa, pues, que existe una "fórmula" para la ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica).