Un Post de Lógica (II): El Problema de Monty Hall

25 de mayo de 2014

Al hilo de mi último post, donde introduje los juegos de lógica como medio para acercar a los jóvenes (y no tan jóvenes) a las matemáticas, nuestro lector JJ Mir propuso un magnifico acertijo que, aunque alguno de vosotros pueda conocerlo, es digno de volver a echarle un ojo.

Permíteme descubrirte, si no lo has hecho ya, el problema de Monty Hall: Estás en un concurso, tienes tres puertas y el presentador te pide que elijas una. Qué me dices… ¿Quieres ganar un coche o te volverás a casa con una cabra?

¡Qué comience el espectáculo!

¡A JUGAAARRRR...!

Rebobinemos un poco y pongámonos en situación: Imagina que te encuentras en el programa de televisión “Two goats, one car”:
- Bueno, bueno… Tras haber pasado la ronda de preguntas, la coreografía imposible, el foso incendiado y recitado todos los títulos de los capítulos de Doraemon, ¡Has llegado a la prueba final! ¿Cómo te sientes?
- Estaría mejor si el foso no hubiese tenido pirañas… le tenía cariño a mi meñique del pie...
- ¡Sobrevalorado!... Pero dejemos aparte los detalles, acabas de llegar a la última prueba y eso es lo que cuenta, déjame que te explique en qué consiste…
En este punto, nuestro presentador te muestra tres puertas y te explica que detrás de una de ellas se encuentra un maravilloso coche, un Koenigsegg One hecho a mano con todo lujo de detalles (¡hasta tiene un colgante de dados!), mientras que detrás de las otras dos puertas se hallan dos cabras algo famélicas. Tienes que elegir una de las puertas y lo que haya detrás de ella será lo que te llevarás a casa esa noche.
- ¿Qué puerta eliges?
- Pues… no sé… supongo que elijo la puerta 1.
- ¿Estás seguro?
- Pues… creo que sí, el número 1 siempre lo he visto plateado, que es del color que quiero que sea mi Koenigsegg.
El presentador, al verte tan decidido y saber lo que hay detrás de cada puerta, decide abrir la número 3, detrás de la cual está una de las cabras. A continuación te da la posibilidad de cambiar tu elección inicial y elegir la puerta descartada inicialmente.

La pregunta es: ¿Qué haces?
- ¿Te quedas con tu elección inicial y abres la puerta 1?
- ¿Cambias de idea y abres la puerta 2?
- O quizás piensas que el hecho de que haya mostrado el contenido de una de las puertas no afecta al resultado.
Mientras piensas qué harías, te comento que este enigma fue presentado a Marilyn vos Savant, la persona con el coeficiente intelectual más elevado del mundo (228). Ella escribía una columna en la revista Parade donde la gente le planteaba problemas que ella resolvía, a la vez que también contestaba preguntas de diversa temática. Cuando este enigma llegó a sus manos esta fue su respuesta:
En todo caso conviene cambiar de puerta, ya que haciéndolo tenemos una probabilidad de 2/3 de llevarnos el coche, frente al 1/3 que tendríamos si no lo hiciésemos.
Esta respuesta conllevó muchas críticas de gente que no estaba de acuerdo y defendía que en todo caso la posibilidad de llevarse el coche sería del 50%. Para comprobar quién estaba en lo cierto, hay que empezar presentando las tres suposiciones en las que nos basamos.
  • El presentador toma la decisión de la puerta que va a abrir después de que hayamos elegido la nuestra.
  • El presentador siempre abre una puerta, no pudiendo ser ésta la que hemos elegido previamente.
  • La puerta que abre siempre esconde una cabra detrás

Teniendo en cuenta esto, explicaremos de forma rápida la deducción de Marilyn vos Savant y por qué ella hubiese tenido más posibilidades de llevarse el coche.
Tienes 3 puertas para abrir y por tanto 3 opciones u oportunidades, en una de ellas estás eligiendo el coche y en dos de ellas estás eligiendo una de las cabras, por tanto:
  • Probabilidad de elegir coche = 1/3
  • Probabilidad de elegir cabra = 2/3

Lo que ocurre cuando eliges quedarte con tu puerta, pase lo que pase, es que siempre tendrás una probabilidad de 1/3 de ganar el coche, ya que lo que haga el presentador después de tu elección no afecta al resultado.

La cosa se complica un poco cuando decides cambiar de puerta, veamos cuales son las posibilidades:
  • Si eliges el coche de primeras y decides cambiar la puerta, siempre hallarás detrás de la puerta finalmente elegida una cabra, sin importar la que abra el presentador (al que le dará igual abrir una u otra porque detrás de ambas estarán las cabras). Como hemos dicho, la posibilidad de que ocurra esto es de 1/3.
  • Si eliges la cabra de primeras la cosa cambia, ya que al presentador solo le queda la opción de abrir la puerta que contiene la otra y, en este caso, el cambiar de puerta significará escoger la que contiene el coche. La posibilidad de que esto ocurra es de 2/3.

Por tanto, con el método de juego y las suposiciones que hemos tomado siempre ocurrirá lo siguiente:
  • Opción “No cambiar de puerta”: Tienes 1 de 3 posibilidades de ganar el coche. Probabilidad de 1/3.
  • Opción “Cambiar de puerta”: Solo ganarás el coche cuando elijas de primeras una cabra, lo que ocurre con una probabilidad de 2/3.

Y así es como, los que habían reprochado a Marilyn vos Savant que se había equivocado, tuvieron que agachar las orejillas y aceptar que esta mujer llevaba nuevamente la razón y que se merece su CI.

Una forma de ayudar a entenderlo un poco mejor es si el concurso en vez de tener 3 puertas tuviese 100 y, cada vez que hiciésemos una elección, el presentador desvelase una de las 99 cabras. Si no cambiásemos la puerta, lo que haga o no haga el presentador después nos da igual, tendremos 1 entre 100 posibilidades de ganar el coche. Sin embargo, si acabamos cambiando la puerta, ganaríamos cada vez que no hubiésemos escogido la puerta correcta de primeras, es decir, 99 de las 100 veces.

Aun así, que quede claro que cambiando la puerta, aunque tienes más posibilidades de llevarte el coche (2/3 frente a 1/3), no llega a ser el 3/3 que necesitaríamos para que fuese infalible y siempre existe la posibilidad (1/3) de que finalmente te vayas a casa con una bonita cabra. Lo digo para que no haya reclamaciones después e intentéis encasquetarme la cabra.
www.xkcd.com
¡Sed felices! (Dedicado a JJ Mir ;D)

9 comentarios:

  1. Y como es que el acertijo de la persona mas inteligente del mundo se ha convertido en uno de los programas de television mas catetos de la historia?

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    1. Jajaja, pues sí. Pero lo gracioso es que, de hecho, es justo al revés. Uno de los lectores de la columna semanal que escribía Marilyn vos Savant fue quien le propuso el acertijo poniendo como ejemplo el programa "Let's Make a Deal" (presentado en aquel entonces por Monty Hall) y, debido al revuelvo que se montó, decidieron nombrarlo de tal forma. Pero sí, es como si en un libro de matemáticas te encontrases "El problema del 1, 2, 3... responda otra vez". Estos matemáticos son unos cachondos... ;)

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  2. No puedo dejar de mirar tu conejo... es hipnótico O_O
    Por cierto, muy bien explicado el problema, como siempre muy amenizado con tus comentarios jocosos ^^

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    1. ¡Lo sé! Ese conejito debería comercializarse con el nombre de Procrastinator Plus (patente en trámite)... Ya me has hecho volver a mirarle... otros 15 minutos menos de vida... D'oh!

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  3. ¡¡Que post tan chulo!! Y no lo digo sólo por la dedicatoria ;)

    Creo que la clave para entender este problema es el ejemplo de las 100 puertas, es el ejemplo perfecto para acabar de entenderlo, también me parece increible que una persona con un CI de 228 se pueda ganar la vida solucionando problemas de toda índole en una revista, curioso.
    Por otro lado me parece súper interesante todo lo relacionado con el CI, ¿en qué se basa? ¿realmente es fiable? ¿sólo lo pueden hacer los americanos porque están destinados a salvar a la humanidad? Creo recordar que Madonna tienen un CI altísimo y posiblemente ningún político actual llegue al CI mínimo interprofesional. ¿Crees que habrá material para otro post?

    Nuria tengo que reconocer que hoy me has hecho un poco más feliz :)

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    1. No sabes cuánto me alegra que te haya gustado ^^ yo también lo pasé bien escribiéndolo, jeje.
      En cuánto al tema del CI, sí que es interesante y, de hecho, creo que hay muchas cosas que se podrían comentar como bien has dicho. Decían también que Marilyn Monroe era superdotada y que lo de "rubia tonta" era un papel que jugaba para conseguir lo que conseguía, ¿será verdad o simplemente leyenda urbana?...

      ... déjame que lo investigue y en un par de semanas te lo cuento ;)

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  4. Yo me quedaría claramente con la cabra, que, aparte de dar compañía y deleitar a los invitados con delicados espectáculos musicales, produce leche.

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    1. Yo porque actualmente necesito un coche, que si no...
      Míralas, qué tiernas, qué bonicas... https://www.youtube.com/watch?v=eoa74ycGlCM

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    2. Discrepo con tu punto de vista. Si dejas crecer a esa cabra, avanzarás a máxima velocidad caprina por todo tipo de terreno (abonándolo a la vez) y condiciones meteorológicas, con un consumo de cardos y latas oxidadas. Para colmo, sólo avasallarás a los demás usuarios de la vía a tu paso y es fácil de aparcar.
      Sin olvidar que al llegar a tu destino siempre tendrás un vaso de leche fresca que desayunar.

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