Primos gaussianos

Todo el mundo aprende en la escuela que un número natural mayor que uno es primo si tiene exactamente dos divisores: la unidad y él mismo. Bastante tiempo después, el profesor cuenta un día —aunque pocos escuchen— que las ecuaciones de segundo grado que parecía que no tenían solución (como \(x^2+1=0\)) sí que la tienen, pero no son reales sino complejas.

¿Entre los números complejos existen algunos que sean primos y otros que sean compuestos?

Enteros gaussianos

El conjunto de los números complejos \(\textbf{C}\) está formado por números de la forma \(a+bi\), donde \(a,b\in\textbf{R}\) e \(i=\sqrt{-1}\) es la unidad imaginaria.

Si nos limitamos al subconjunto de \(\textbf{C}\) cuyos elementos tienen \(a\) y \(b\) enteros (\(a,b\in\textbf{Z}\)), tenemos el conjunto de los enteros gaussianos (que se puede designar \(\textbf{Z}[i]\)).

Dado un entero gaussiano \(x\), decimos que \(-x\), \(ix\) y \(-ix\) son sus asociados. Es el equivalente al concepto de opuesto en los números reales (el \(3\) y el \(-3\), por ejemplo).

Los números primos: disposiciones "geométricas"

Una de las áreas de la matemática más reconocida por el público en general es la teoría de números y, en particular, el estudio de los números primos.

Decimos que un número natural, mayor que uno, es primo si solamente es divisible entre él mismo y la unidad. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13, por ejemplo, son primos; mientras que 4, 6, 8, 9, 10 y 12 son compuestos (tienen, al menos, tres divisores distintos).

Los números primos, pese a los enormes esfuerzos realizados por los científicos de todas las épocas, guardan, tras su inocente apariencia, importantes desafíos para las mentes más brillantes. Hoy, sin embargo, nos limitaremos a constatar que simplemente variando la disposición de los números primos en el papel varía la información que se transmite.