Las medias (I)

26 de julio de 2013

Cualquier estudiante de secundaria conoce unos cuantos parámetros estadísticos; al menos "los de la m": la moda, la mediana y la media. Sin embargo, como veremos, no es correcto hablar de la media. ¡Empecemos!

La media aritmética


Probablamente el parámetro estadístico más conocido es la media aritmética. A esto contribuye, sin duda, que se use habitualmente como sistema para calcular la calificación de los estudiantes. Así, por ejemplo, si un alumno ha obtenido las calificaciones 4, 7 y 8 en sendos exámenes de álgebra, el profesor puede calcular su nota global sumando las tres notas y dividiendo entre 3:

$$n_g = \frac{4+7+8}{3} ~= 6{,}33$$

Definición

En general, si tenemos \(n\) números \(\{x_1, x_2, ... , x_n\}\), la media aritmética de dichos números se calcula

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$

expresión que a los profesores les gusta escribir así

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$$

Uso

Se puede encontrar en prácticamente todas las disciplinas. Hablamos del sueldo medio, de la media de goles por partido de tal o cual jugador, de la edad media de inicio en el consumo de alcohol...

El uso de este parámetro está tan extendido que a menudo decimos simplemente 'media' para referirnos a la 'media aritmética'. Sin embargo, existen otras medias como la media geométrica, la media armónica o la media cuadrática.



La media geométrica

Recuperemos el ejemplo inicial, si el profesor decidiese usar la media geométrica para calificar haría lo siguiente:

$$n_g = \sqrt[3]{4\cdot7\cdot8} ~= 6{,}07 $$

Lo cual no alegraría mucho a sus alumnos, claro.

Definición

En caso de tener un conjunto de \(n\) números \(\{x_1, x_2, ..., x_n\}\), la media geométrica se calcula según la expresión

$$ G = \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot ...\cdot x_n} $$

o, en su versión más elegante,

$$ G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i}$$

Nótese la analogía entre ambas definiciones: para calcular la media aritmética sumamos y dividimos; para la geométrica, multiplicamos y sacamos la raíz cuadrada.

Uso

Alguno de los escasos lectores que hayan aguantado hasta aquí estará pensando "Muy bonito, pero ¿eso lo usa alguien además de algún profesor extravagante?". Evidentemente, la respuesta es afirmativa.

En el excelente blog Mati, una profesora muy particular hay un ejemplo perfecto para ilustrarlo. Aquí lo reproducimos ligerísimamente modificado.

Imaginemos que las tasas universitarias hubiesen subido un 80% en 2011, un 5% en 2012 y un 5% en 2013. En ese caso, si en 2010 el precio del crédito ETCS hubiese sido de 10€ ahora costaría $$ P_{2013} = 10 \cdot 1{,}8 \cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05 = 19{,}85€ $$

¿Cuál habría sido el incremento medio de los tres años? Parece claro que el incremento medio se podría obtener calculando la media aritmética de los tres datos $$\text{incremento medio} = \frac{1{,}8+1{,}05+1{,}05}{3} = 1{,}3 $$ Es decir, un 30%. Veamos por qué no puede ser.

Si el incremento medio fuese del 30%, podríamos tomar el precio en 2010, aplicar este aumento tres veces consecutivas y obtendríamos el precio actual. Si lo hacemos así, obtenemos un precio algo mayor que el real: $$ P_{2013} = 10 \cdot 1{,}3 \cdot 1{,}3 \cdot 1{,}3 = 21{,}97€ $$

En cambio, si calculamos el incremento medio usando la media geométrica obtenemos $$\text{incremento medio} = \sqrt[3]{1{,}8\cdot 1{,}05 \cdot 1{,}05} ~= 1{,}25666 $$ Que, aplicado tres veces consecutivas da el precio correcto $$ P_{2013} = 10 \cdot 1{,}25666 \cdot 1{,}25666 \cdot 1{,}25666 = 19{,}85€ $$

Pero la media geométrica se usa en muchos otros casos. Como, por ejemplo, cálculo del índice de refracción de la película antireflectante de las lentes, cálculo del flujo de calor en sistemas esféricos, cálculos con líneas trifásicas, cálculo de primas para pólizas de seguros, obtención de las dimensiones de los tamaños del papel DIN-B (relacionado con las medidas del mucho más conocido DIN-A) o medidas del rendimiento de ordenadores, entre otros.

Incluso se proponen nuevos usos como el cálculo de la función renal.

Características "desafortunadas"


La media geométrica, sin embargo, presenta algunas dificultades.

No siempre es real

Si el número de datos es par y hay un número impar de datos negativos, el resultado no es real. Por ejemplo: la media geométrica de -1 y 1 $$ G = \sqrt{(-1)\cdot 1} \notin \mathbb{R}$$

Los datos negativos generan resultados inconsistentes

Si el número de datos es impar y hay un número impar de datos negativos, el resultado es negativo. Por ejemplo, la media geométrica de -1, 1 y 8. $$ G = \sqrt[3]{(-1)\cdot 1 \cdot 8} = -2 $$

En cambio, si el número de datos negativos es par, independientemente de cuántos sean en total, el resultado es el mismo que si todos los valores fuesen positivos. $$ G = \sqrt[3]{(-1) \cdot (-2) \cdot 4} = \sqrt[3]{1 \cdot 2 \cdot 4} = 2 $$

Un solo valor nulo "arrastra" a todos los demás

Si uno de los datos es cero, la media geométrica es cero independientemente del resto de los datos. $$ G = \sqrt[4]{0 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 5} = 0 $$

Es decir, la media geométrica está bien definida si todos los datos son estrictamente mayores que cero.

Conclusión

La media aritmética no es la única "media" y, de hecho, usarla en ciertos casos lleva a resultados incorrectos.

En la próxima entrega continuaremos nuestra aproximación a los parámetros estadísticos menos (re)conocidos y a algunas de sus propiedades matemáticas. Mientras tanto, ¡seguid dudando!

8 comentarios:

  1. Que se me venga a la mente, la media geométrica se usa también en problemas de intercambio de calor en sistemas esféricos, de forma análoga a la media logarítmica en sistemas cilíndricos. Curiosamente, es la única vez que recuerdo haber usado este tipo de media en mi vida...jejeje

    Felicidades por el post

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  2. Sí, cuando vi todos los tamaños que aparecían en la entrada de la wikipedia que cito en el post (http://en.wikipedia.org/wiki/Paper_size) me dio un ataque de pánico. ;-)

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  3. Me parece el artículo más rollo del blog. Soy lector desde casi el comienzo y a mi esto no me parece interesante. Lo que mola es contar cosas como lo del agua y el iceberg, el tema del telescopio, pero esto es muy pesado, no aporta nada. Creo que deberían cambiar sobre lo que escribes.

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  4. Por fortuna tu opinión no deja de ser eso: una opinión. Desde la mía, lo que dices nace desde la carencia más absoluta de razón. Soy de los que piensan que con buenos modales se puede decir todo, y a todo el mundo. No es tu caso. Si no te gusta un artículo de este blog eres libre de opinar, que para eso están los comentarios, pero nunca en los términos en los que lo haces. Y si además te escudas en el anonimato es porque además de maleducado o maleducada, eres bastante cobarde.

    Dicho lo cual, gracias por comentar.

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  5. Las matemáticas y la física son las matrices de todo en el mundo de la ciencia, así que precisamente si tanto te gustan telescopios, icebergs, etc. deberías ser consciente de que antes son necesarias otras cosas para su comprensión, como es el caso.

    Mucho me temo que has malinterpretado el auténtico sentido de este blog, que precisamente busca mostrar la innegable conexión de la ciencia con el mundo en el que vivimos, tanto el cotidiano como el de los grandes hitos. El problema viene cuando hay quienes únicamente se dejan llevar por los clichés de "ciencia ficción" y acaban por no ver el auténtico y real trasfondo científico. Parece que es tu caso.

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  6. Aqui solo se puede comentar cuando es para deciros lo bonito que es el lo que decis ¿no? ¿Un lector no puede decir que esto no le parece interesante o que prefiere otras de las cosas que poneis? Lo desconocia, pero ya lo conozco.

    No me escudo en ningun anonimato, soy Juan Hernandez Lopez y no soy ningún cobarde.

    Gracias a ti por responderme Luis Vilchez, con V de valiente.

    Zaratuste tu comentario si me parece adecuado y puede ser que el caso que describes sea mi caso. A ti si gracias por tu educación.

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