Cómo calcular la magnitud aparente de cualquier cuerpo del Sistema Solar.

25 de enero de 2015

Hoy os traigo una entrada sobre cómo calcular la magnitud aparente de cualquier cuerpo del Sistema Solar. Para ello solo necesitaréis conocer de antemano un par de datos y tener a mano una calculadora.


Para calcular la magnitud aparente de cualquier objeto utilizaremos esta fórmula:








Donde es la magnitud aparente que vamos a calcular, es la magnitud absoluta del objeto en cuestión (podemos encontrar la magnitud aparente de cualquier cuerpo del Sistema Solar en la página web del JPL con tan solo buscar su nombre), d2(bs) es la distancia al cuadrado entre el cuerpo y el Sol y  d2(bo) es la distancia del cuerpo al observador elevada al cuadrado. En cuanto al denominador, p(x) es la fase integral del objeto (que ahora enseñaremos a calcular) y do4 es la distancia elevada a la cuarta  que nos separa del Sol.



Así, la fase integral de un cuerpo se calcula como vemos arriba, donde X es el ángulo de fase del cuerpo (de 0 a 359º). En el caso de la fase integral, el valor máximo que podemos obtener, correspondiente a un ángulo igual a 0º, es de 2/3, por la razón que he explicado arriba anteriormente.

Cuidado.
Si el valor que arroja es inferior a 0 o superior a 2/3, algo habremos hecho mal; tocará revisar los cálculos.  ¿Por qué? La fase integral es un valor comprendido entre 0 y 2/3 para cualquier cuerpo astronómico, por tanto excederlo es imposible porque es imposible que el valor máximo de un seno o un coseno por el cual se multiplica (1) arroje una cifra mayor que el número al que multiplica, como tampoco puede bajar de 0 porque en el numerador del logaritmo estamos trabajando con valores elevados al cuadrado. En los números reales ningún número elevado al cuadrado podrá ser negativo (positivo por positivo es igual a positivo y negativo por negativo es igual a positivo), al igual que su denominador lo forma una distancia elevada a la cuarta (que tampoco, por lo previamente comentado, podría ser en ningún caso negativa) y la fase integral. Si la fase integral es negativa, cambia el signo del interior del paréntesis a negativo, al estar dividiendo por un número inferior a cero. Y la propiedad más básica de los logaritmos es que el logaritmo de un número inferior a cero es inexistente. Una barbaridad, ya que no se puede elevar ningún número a ningún exponente sin que sea positivo.

Si tampoco tenemos el ángulo de fase, no debemos arrojar la toalla. También podemos calcularlo gracias a una fórmula bastante simple (la Astronomía y las Matemáticas tienen la solución a todo):



Donde d2BO equivale a la distancia al cuadrado del observador al cuerpo, d2BS, del cuerpo al Sol, d2OS la distancia al cuadrado del observador al Sol y 2·d(BO)·d(BS) hace referencia al doble producto de la distancia que separa al observador del cuerpo cuya magnitud queremos calcular por la distancia del cuerpo al Sol que lo ilumina. El valor que resulte será el coseno del ángulo, por lo que deberemos hacer el arcocoseno del ángulo (todas las calculadoras científicas poseen una tecla cos-1 para ese fin), que nos arrojará el valor final. Tened siempre en cuenta que estamos trabajando con grados, y no con radianes (error de principiante que a más de uno nos ha costado muy caro en algún que otro examen).

Cuidado.
Lo único que debemos tener en cuenta a la hora de calcular el ángulo de fase es un enunciado básico de las Matemáticas: tanto el seno como el coseno de un ángulo tienen un valor máximo de 1 y un valor mínimo de -1, por lo que si la fórmula de arriba os da un valor inferior a -1 o superior a 1, algo habréis hecho mal y tocará repasar el procedimiento y corregir fallos. Si el valor está comprendido entre 1 y -1 (ambos inclusive), habremos realizado correctamente nuestros cálculos.

Pero dejémonos de palabrería y pasemos a la acción:

Cogiendo de ejemplo la Luna Llena, cuyo ángulo de fase es obviamente de 0 grados, obtenemos una fase integral de 2/3. Sustituimos sabiendo que su magnitud absoluta es de  H = 0,25, D(os) y D(bs) equivalen ambas a 1 unidad astronómica (ya que la distancia que separa la Tierra del Sol es de 1 UA y la distancia que separa a la Luna del Sol es también de 1 UA) y D(bo) igual a 0,00257 unidades astronómicas (resultado de dividir 385.000 kilómetros –distancia Tierra/Luna- entre 150.000.000 de kilómetros que es, aproximadamente, el valor de una UA).

Así, sustituimos y nos queda la siguiente fórmula con el siguiente resultado:



Un resultado bastante acertado teniendo en cuenta que la magnitud real de la Luna Llena es de entre -12.6 y -12.7 unidades (un error de un 3%).

Ahora veremos otro caso curioso y después procederé a explicar el porqué. En el caso de la Luna en Cuarto Creciente, sin cambiar ningún valor excepto el ángulo de fase (que en este caso será de 90º), el resultado sería de -11.02 magnitudes, exactamente el mismo que el real (-11.0).




Como vemos, el error es muy pequeño, pero proporcional al valor de la fase integral...

¿Por qué? 
Esto se debe a que, en el caso de grandes fases, hemos asumido que la Luna (o cualquier otro cuerpo que estemos asumiendo como tal) actúa como un reflector perfecto -en esto consiste, básicamente, el cálculo de la fase integral-; en general, hemos asumido que los astros actúan como reflectores. En el caso de los cuerpos parcial o nulamente iluminados, esta fórmula resulta absolutamente precisa, pero, en el caso de los cuerpos totalmente iluminados, no es así. La Luna Llena refleja un 30% más de luz que un reflector perfecto (algo que esta fórmula no tiene en cuenta), por lo que –de haber corregido este valor en la fórmula- el resultado hubiese sido el mismo que el real. Cuanta menos luz refleje un cuerpo, menos margen de error habrá, hasta que se aproxime a 0 como en el caso superior.

Con fórmulas similares a estas basadas en logaritmos se han programado muchos programas astronómicos como Stellarium y Starry Night, ese último el más completo de todos al permitirte conocer la magnitud con la que se vería cualquier objeto del Sistema Solar desde cualquier rincón del mismo. Algo que ahora tú también puedes hacer.


Espero que os haya resultado útil. En la próxima entrega os explicaré nuevos conceptos y fórmulas para calcular una gran cantidad de variables físicas y astronómicas nuevas.

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